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関数解析学において、Z変換（ゼットへんかん、Z-transform）とは、ローラン展開をベースにした関数空間の間の線形作用素。関数変換。
@media screen{.mw-parser-output .fix-domain{border-bottom:dashed 1px}}Z変換は離散群上でのラプラス変換とも説明される。[要出典]なお、Z変換という呼び方は、定義式中の遅延要素である z {\displaystyle z} に由来する。 列xnのZ変換は以下の式で定義される: Z [ x n ] = X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x n z − n {\displaystyle {\mathcal {Z}}[x_{n}]=X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}z^{-n}} ここでnは整数でzは複素数である。なお後述の片側Z変換に対してこれを両側Z変換（two-sided Z-transform、bilateral Z-transform）と呼ばれる。 n<0 でxn=0のような場合は、総和の範囲を 0 ? ∞ で計算できる： Z [ x n ] = X ( z ) = ∑ n = 0 ∞ x n z − n {\displaystyle {\mathcal {Z}}[x_{n}]=X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}z^{-n}} これを元の定義と区別して片側Z変換（single-sided Z-transform、unilateral Z-transform）と呼ぶこともある。工学の分野などでは因果律を想定するので、こちらの式で定義することがある。 二次元信号（例えば画像）に対する二次元Z変換の定義は類似的である： Z [ x ( n 1 , n 2 ) ] = X ( z 1 , z 2 ) = ∑ n 1 = − ∞ ∞ ∑ n 2 = − ∞ ∞ x ( n 1 , n 2 ) z 1 − n 1 z 2 − n 2 {\displaystyle {\mathcal {Z}}[x(n_{1},n_{2})]=X(z_{1},z_{2})=\sum _{n_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }x(n_{1},n_{2})z_{1}^{-n_{1}}z_{2}^{-n_{2}}} なお、Z変換の級数は一般には発散することがある。収束するzの領域（収束領域，Region of Convergence）を以下のように書ける: ROC = { z : 。 ∑ n = − ∞ ∞ x n z − n 。 < ∞ } {\displaystyle {\mbox{ROC}}=\left\{z:\left\vert \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}z^{-n}\right\vert <\infty \right\}} 厳密にはこの収束領域内においてのX(z)を、xnのZ変換と定義する。 二次元Z変換の収束領域の定義は類似する： ROC = { ( z 1 , z 2 ) : 。 ∑ n 1 = − ∞ ∞ ∑ n 2 = − ∞ ∞ x ( n 1 , n 2 ) z 1 − n 1 z 2 − n 2 。
定義
収束領域