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群論 → リー群
リー群

古典群（英語版）

一般線型 GL(n)

特殊線型 SL(n)

直交 O(n)

特殊直交 SO(n)

ユニタリ U(n)

特殊ユニタリ SU(n)

シンプレクティック Sp(n)

単純リー群

単純リー群一覧表（英語版）

古典型


An

Bn

Cn

Dn

例外型


G2（英語版）

F4（英語版）


E6（英語版）

E7（英語版）

E8（英語版）


他のリー群（英語版）

円周（英語版）

ローレンツ

ポワンカレ

共形（英語版）

微分同相写像

ループ（英語版）

リー環

指数写像

随伴表現 .mw-parser-output .hlist ul,.mw-parser-output .hlist ol{padding-left:0}.mw-parser-output .hlist li,.mw-parser-output .hlist dd,.mw-parser-output .hlist dt{margin-right:0;display:inline-block}.mw-parser-output .hlist dt:after,.mw-parser-output .hlist dd:after,.mw-parser-output .hlist li:after{white-space:normal}.mw-parser-output .hlist li:after,.mw-parser-output .hlist dd:after{content:" ・ ";font-weight:bold}.mw-parser-output .hlist dt:after{content:": "}.mw-parser-output .hlist-pipe dd:after,.mw-parser-output .hlist-pipe li:after{content:" 。";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-hyphen dd:after,.mw-parser-output .hlist-hyphen li:after{content:" - ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist-comma dd:after,.mw-parser-output .hlist-comma li:after{content:"、 ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li:last-child:after{content:none}.mw-parser-output .hlist dd dd:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dd dt:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dd li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt dd:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt dt:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li dd:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li dt:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li li:first-child:before{content:" (";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist dd dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dd dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dd li:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist dt li:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li dd:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li dt:last-child:after,.mw-parser-output .hlist li li:last-child:after{content:") ";font-weight:normal}.mw-parser-output .hlist ol{counter-reset:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li{counter-increment:listitem}.mw-parser-output .hlist ol>li:before{content:" "counter(listitem)" ";white-space:nowrap}.mw-parser-output .hlist dd ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist dt ol>li:first-child:before,.mw-parser-output .hlist li ol>li:first-child:before{content:" ("counter(listitem)" "}

(群

環)




キリング形式

指数（英語版）


Lie point symmetry（英語版）

単純リー環

半単純リー環

ディンキン図形

カルタン部分環



ルート系

ワイル群




実形（英語版）

複素化（英語版）


分裂型リー環（英語版）

コンパクトリー環（英語版）

等質空間

閉部分群（英語版）

放物型部分群（英語版）

対称空間（英語版）

エルミート対称空間（英語版）

制限ルート系（英語版）

表現論

リー群表現

リー環表現

物理学におけるリー群

素粒子物理学と表現論（英語版）

ローレンツ群表現（英語版）

ポワンカレ群表現（英語版）

ガリレイ群表現（英語版）

科学者

ソフス・リー

アンリ・ポワンカレ

ヴィルヘルム・キリング（英語版）

エリ・カルタン

ヘルマン・ワイル

クロード・シュヴァレー

ハリッシュ＝チャンドラ（英語版）

アルマン・ボレル



リー群一覧表（英語版）



表

話

編

歴

数学における円周群（えんしゅうぐん、英: circle group; 円群）は絶対値 1 の複素数（単位複素数[注釈 1]）全体（つまり複素数平面上の単位円） T = { z ∈ C : 。 z 。 = 1 } {\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}} の成す乗法群 (T, ×)（ふつうはこれを単に、乗法群 T と呼ぶ）を言う。円周群 T は、非零複素数全体の成す乗法群 C× の部分群であり、C× がアーベル群であるから、T もそうである。円周群は 1 × 1 複素係数ユニタリ行列全体の成す群 U(1) と見ることもできて、これは複素数平面に原点を中心とする回転として作用する。円周群は角 θ による媒介変数表示が可能で、写像 θ ↦ z = e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ {\displaystyle \theta \mapsto z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta } は円周群に対する指数写像となる。

円周群はポントリャーギン双対性において中心的な役割を果たし、あるいはリー群論においても重要である。

円周群 T の回転群としての解釈は、標準位相に関して円周群が一次元トーラスに位相群として同型であるという事実に発する。より一般に、T の n-重直積群 Tn は幾何学的に n-次元トーラスである。
目次

1 位相構造

2 位相群の同型

3 性質

4 表現

5 抽象群構造

6 関連項目

7 注

7.1 注釈

7.2 出典


8 参考文献

9 関連文献

10 外部リンク

位相構造

円周群は単に中小代数的対象であるだけでなく、複素数平面の部分空間としての自然な位相（英語版）を持つ。乗法および反転が C× 上の連続写像となることから、円周群は位相群の構造を持つ。さらに、単位円は複素数平面の閉集合であるから、円周群は位相群としての C× の閉部分群となる。

もっと言えば、円周群は一次元実多様体で、乗法及び反転は円周群上の実解析的写像となるから、円周群はリー群の実例としての一径数群（英語版）の構造を持つ。実はこれは、同型を除いて唯一の一次元コンパクト連結リー群である。さらに、任意の n-次元コンパクト連結可換リー群は Tn に同型となる。
位相群の同型

円周群は数学的に様々な形でその姿を明らかにする。よく知られた形のうちのいくつかを以下に挙げよう。特に知るべきは位相群の同型 T ≅ U ( 1 ) ≅ R / Z ≅ SO ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {T} \cong \mathbb {U} (1)\cong \mathbb {R/Z} \cong \operatorname {SO} (2)} である。