Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH、SPH法)は主に流体計算に用いられる微分方程式の数値解析手法の一つ。対象とする物体を有限個の粒子によって表現し、ラグランジュ的に粒子を移動させながら解析する粒子法(またはメッシュフリー粒子法)に分類される。SPHでは、近傍粒子上の関数値の重み付き平均によって補間関数を定義する。この補間関数を近似関数として微分方程式に直接代入、もしくは独自に定義された微分作用素の近似を微分方程式に適用することによって近似方程式が得られる。SPHは単純な近似によって空間のメッシュ分割を用いないメッシュフリー近似を実現できることから、物体の大規模な変形を有するような問題に適しており、天体物理学、構造力学（主に破壊や亀裂進展など）、流体力学など多くの分野で利用されている。しかし、その計算精度や境界条件の扱い方など、十分に確立されていない部分も多い手法でもある。目次

1 歴史

2 空間離散化

3 Incompressible Smoothed Particle Hydrodynamics (ISPH)

4 関連項目

5 注釈

6 参考文献

歴史

SPHは1977年のGingoldとMonaghanによる天体物理のシミュレーションに関する論文[1]が起源とされており、手法の名前もこの論文が元となっている。しかし、この論文の謝辞でも述べているようにSPHの離散化はLucyのアイディアであり、Lucyも同年に少し遅れて同様の離散化を用いた論文を公開している[2]。
空間離散化

　SPHの空間離散化では、まず、次のような条件を満たす重み関数 w h {\displaystyle w_{h}} を導入する: w h ( r ) { > 0 , 0 ≤ r < h , = 0 , r ≥ h , ( 1 ) ∫ R d w h ( 。 x 。 ) d x = 1. ( 2 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&w_{h}(r){\begin{cases}>0,&0\leq r<h,\\=0,&r\geq h,\end{cases}}\qquad \qquad &{\rm {(1)}}\\&\int _{\mathbb {R} ^{d}}w_{h}(|x|)dx=1.\qquad &{\rm {(2)}}\end{alignedat}}}

この重み関数 w h {\displaystyle w_{h}} を用いて、関数 ϕ {\displaystyle \phi } を ϕ ( x ) ≈ ∫ Ω ϕ ( y ) w h ( 。 x − y 。 ) d y ( 3 ) {\displaystyle \phi (x)\approx \int _{\Omega }\phi (y)w_{h}(|x-y|)dy\qquad \qquad {\rm {(3)}}}

と積分式で近似する。ここに、 Ω {\displaystyle \Omega } は考える物体の領域である。次に、 Ω {\displaystyle \Omega } 内に N {\displaystyle N} 個（ N {\displaystyle N} は有限）の粒子 x i {\displaystyle x_{i}} を配置し、関数 ϕ {\displaystyle \phi } の Ω {\displaystyle \Omega } 内での積分を ∫ Ω ϕ ( y ) d y ≈ ∑ i = 1 N m i ρ i ϕ ( x i ) ( 4 ) {\displaystyle \int _{\Omega }\phi (y)dy\approx \sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}\phi (x_{i})\qquad \qquad {\rm {(4)}}}

と近似する。ここに、 m i {\displaystyle m_{i}} と ρ i {\displaystyle \rho _{i}} はそれぞれ、粒子 x i {\displaystyle x_{i}} が代表する質量と密度である。(3)、(4)を用いて、関数 ϕ {\displaystyle \phi } に対するSPHの近似関数を ⟨ ϕ ( x ) ⟩ = ∑ i = 1 N m i ρ i ϕ ( x i ) w h ( 。 x − x i 。 ) ( 5 ) {\displaystyle \langle \phi (x)\rangle =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{\rho _{i}}}\phi (x_{i})w_{h}(|x-x_{i}|)\qquad \qquad {\rm {(5)}}}

と定義する。

　勾配作用素 ∇ {\displaystyle \nabla } （１階の微分作用素）に対する近似は、近似関数 ⟨ ϕ ( x ) ⟩ {\displaystyle \langle \phi (x)\rangle } を微分して ⟨ ∇ ϕ ( x ) ⟩ = ∑ i = 1 N m i ρ i ϕ ( x i ) ∇ w h ( 。