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QR分解（キューアールぶんかい、英: QR decomposition, QR factorization）とは、m × n 実行列 Aを、 m 次直交行列 Q と m × n 上三角行列 R との積への分解により表すこと、またはそう表した表現をいう[1]。このような分解は常に存在する[2]。

QR分解は線型最小二乗問題を解くために使用される。また、固有値問題の数値解法の1つであるQR法の基礎となっている。
定義
正方行列

すべての実正方行列 Aは直交行列Qと上三角行列(別名右三角行列)Rを用いて A = Q R {\displaystyle A=QR}

と分解できる。もしAが正則ならば、Rの対角成分が正になるような因数分解は一意に定まる。

もしAが複素正方行列ならば、Qがユニタリ行列 (つまり Q ∗ Q = Q Q ∗ = I {\displaystyle Q^{*}Q=QQ^{*}=I} )となるような分解A = QRが存在する。

もしAがn個の線形独立な列を持つなら、Qの最初のn列はAの列空間の正規直交基底をなす。より一般的に、1 ? k ? nの任意のkについて、Qの最初のk列はAの最初のk列の線型包をなす[3]。Aの任意の列kがQの最初のk列にのみ依存するということは、Rが三角行列であることから明らかである[3]。
矩形行列

より一般的に、m ? nである複素m×n行列Aを、m×mユニタリ行列Qとm×n上三角行列Rに分解することができる。m×n上三角行列の下から(m?n)行はすべてゼロであるため、Rや、RとQ両方の分割を簡単に行うことができる。 A = Q R = Q [ R 1 0 ] = [ Q 1 , Q 2 ] [ R 1 0 ] = Q 1 R 1 {\displaystyle A=QR=Q{\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q_{1},Q_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}=Q_{1}R_{1}}

ここで、R1はn×n上三角行列、0は(m ? n)×n零行列、Q1はm×n行列、Q2はm×(m ? n)行列で、Q1とQ2は両方直交する列を持つ。

Q1R1をGolub & Van Loan (1996, §5.2)はAの薄い(thin)QR分解と呼び、 Trefethen & Bauは軽減(reduced)QR分解と呼んでいる[3]。もしAが最大階数nであり、R1の対角成分を正にするならば、R1とQ1は一意に定まる。しかし一般的にQ2はそうではない。R1はA* A (Aが実行列の場合ATAに等しい)のコレスキー分解の上三角部分に等しい。
QL・RQ・LQ分解

同様に、Lを下(lower)三角行列として、QL、RQ、LQ分解を定義することができる。
QR分解の計算

QR分解を計算する手法として、グラム・シュミット分解、ハウスホルダー変換、ギブンス回転などがある。それぞれ利点と欠点がある。
グラム・シュミットの正規直交化法の使用詳細は「グラム・シュミットの正規直交化法」を参照