qザールシュッツの和公式(q-Saalschutz summation formula)はザールシュッツの定理のq-類似であり、q超幾何級数 3 ϕ 2 {\displaystyle {_{3}\phi _{2}}} の和を与える公式である[1]。 3 ϕ 2 [ a , b , q − n c , a b c q − n + 1 ; q , q ] = ( c a ; q ) n ( c b ; q ) n ( c a b ; q ) n ( c ; q ) n {\displaystyle {_{3}\phi _{2}}\left[{\begin{matrix}a,b,q^{-n}\\c,{\frac {ab}{c}}q^{-n+1}\end{matrix}};q,q\right]={\frac {({\frac {c}{a}};q)_{n}({\frac {c}{b}};q)_{n}}{({\frac {c}{ab}};q)_{n}(c;q)_{n}}}}

但し、 ( a ; q ) n {\displaystyle (a;q)_{n}} はqポッホハマー記号である。
証明

qザールシュッツの和公式はハイネの変換式から導かれる。ハイネの変換式を反復すると 2 ϕ 1 [ a , b c ; q , z ] = ( b ; q ) ∞ ( a z ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ 2 ϕ 1 [ z , c b a z ; q , b ] = ( b ; q ) ∞ ( a z ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ ⋅ ( b c ; q ) ∞ ( b z ; q ) ∞ ( a z ; q ) ∞ ( b ; q ) ∞ 2 ϕ 1 [ b , a b z c b z ; q , c b ] = ( b ; q ) ∞ ( a z ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ ⋅ ( b c ; q ) ∞ ( b z ; q ) ∞ ( a z ; q ) ∞ ( b ; q ) ∞ ⋅ ( a b z c ; q ) ∞ ( c ; q ) ∞ ( b z ; q ) ∞ ( c b ; q ) ∞ 2 ϕ 1 [ c b , c a c ; q , a b z c ] = 2 ϕ 1 [ c a , c b c ; q , a b z c ] ( a b z c ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}{_{2}\phi _{1}}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};q,z\right]&={\frac {(b;q)_{\infty }(az;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }(z;q)_{\infty }}}{_{2}\phi _{1}}\left[{\begin{matrix}z,{\frac {c}{b}}\\az\end{matrix}};q,b\right]\\&={\frac {(b;q)_{\infty }(az;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }(z;q)_{\infty }}}\cdot {\frac {({\frac {b}{c}};q)_{\infty }(bz;q)_{\infty }}{(az;q)_{\infty }(b;q)_{\infty }}}{_{2}\phi _{1}}\left[{\begin{matrix}b,{\frac {abz}{c}}\\bz\end{matrix}};q,{\frac {c}{b}}\right]\\&={\frac {(b;q)_{\infty }(az;q)_{\infty }}{(c;q)_{\infty }(z;q)_{\infty }}}\cdot {\frac {({\frac {b}{c}};q)_{\infty }(bz;q)_{\infty }}{(az;q)_{\infty }(b;q)_{\infty }}}\cdot {\frac {({\frac {abz}{c}};q)_{\infty }(c;q)_{\infty }}{(bz;q)_{\infty }({\frac {c}{b}};q)_{\infty }}}{_{2}\phi _{1}}\left[{\begin{matrix}{\frac {c}{b}},{\frac {c}{a}}\\c\end{matrix}};q,{\frac {abz}{c}}\right]\\&={_{2}\phi _{1}}\left[{\begin{matrix}{\frac {c}{a}},{\frac {c}{b}}\\c\end{matrix}};q,{\frac {abz}{c}}\right]{\frac {({\frac {abz}{c}};q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}\\\end{aligned}}}