Particle-in-Cell (PIC、セル内粒子) 法とは、特定の問題における偏微分方程式を解く方法の1つである。この方法では、個々の粒子 (または流体要素) が連続な相空間で追跡される。一方で、密度や電流といった分布の積率や電磁場が計算格子上で計算される。粒子の追跡はラグランジュ描像で、積率と電磁場の計算はオイラー描像で記述される。

PIC法は1955年には既に使用されていた[1]。これは最初のFortranコンパイラが利用可能になるよりも昔の事である。当時の方法は、Buneman（英語版）、Dawson（英語版）、Hockney、Birdsall、Morseらにより、1950年代後半から1960年代初頭にかけてプラズマシミュレーションで人気を博した。プラズマシミュレーションにおけるPIC法では、固定格子上で計算されたセルフコンシステントな電磁場 (または静電場) 内の荷電粒子の軌道を追跡する[2]。
技術的側面

Buneman、Dawson、Hockney、Birdsall、Morseらにより発明された古典的なPIC法は、多種の問題について直感的であり、かつ簡単に実装できるという長所を持つ。これらの長所があったために、特にプラズマシミュレーションにおける分野でPIC法が成功したと考えられている。古典的なPIC法には、通常、次の手順が含まれる。

運動方程式の積分

電荷と電流の、場の格子への分配

格子上での場の計算

格子から粒子の位置への場の内挿

平均場を介した粒子間相互作用のみを含むモデルは PM (Particle-Mesh) と呼ばれ、直接的な二体相互作用を含むモデルは PP (Particle-Particle) と呼ばれる。 また、それらの両方を含むモデルは PP-PM もしくは P3M と呼ばれる。

PIC法は初期の頃から、いわゆる 離散粒子ノイズ による誤差の影響を受けやすい、と認識されてきた[3]。この誤差は本質的には離散粒子が持つ統計的性質に起因するものである。オイラー法やセミラグランジュ法などの従来の固定格子による手法と比べると、今でも理解が進んでいるとは言い難い。

現代の幾何学的PIC法のアルゴリズムは、非常に多くの理論的枠組みに基づいている。これらのアルゴリズムでは、離散多様体、微分形式の補間、正準または非正準のシンプレクティック数値積分法の手法を使用して、ゲージ不変性、電荷保存則、エネルギー-運動量保存則が保証されると同時に、さらに重要な粒子-場系の無限次元シンプレクティック構造も保証される[4][5]。これらの優れている点は、幾何学的PIC法のアルゴリズムが場の理論の基本的な枠組みに基づいて構築されており、完全形式、つまり物理学の変分原理と直接結びついている事である。
PICプラズマシミュレーション技術の基礎

プラズマの研究では、様々な粒子種（電子、イオン、中性の原子、分子、ダスト粒子など）の系について調査される。PICコードに関連する方程式の組には、ローレンツ力を含む運動方程式と、電場(電界)および磁場(磁界)を解くためのマクスウェル方程式がある。運動方程式を解くコードとマクスウェル方程式を解くコードは分かれており、それぞれ particle mover (または pusher) 、field solver と呼ばれる場合もある。
超粒子

多くの場合、取り扱う系には膨大な数の粒子が含まれており、実行不可能な計算量となってしまう。シミュレーションを効率的に行うために、いわゆる「超粒子 (super particle、または macro-particle)」が使用される。超粒子とは、多数の現実の粒子が集約された、計算上で扱う粒子の事である。例えばプラズマシミュレーションの場合、1つの超粒子は数百万の電子またはイオンに対応する。また、流体シミュレーションの場合、超粒子は渦要素などに対応する。ローレンツ力から受ける加速は電荷質量比のみに依存するため、たとえ超粒子の数をリスケーリングしたとしても、超粒子が現実の粒子と同じ軌跡を辿るようにする事が可能である。

超粒子に対応させる現実の粒子の数 (これを 超粒子の重み という) は、超粒子の運動について十分な統計を収集できるように決める必要がある。系内の異種粒子間 (例えばイオンと中性粒子の間) に大きな密度差がある場合、粒子種ごとに別々の重みを適用する場合もある。
粒子の追跡

超粒子を用いる場合でも、通常シミュレートする超粒子の数は105個以上と非常に多い。運動については各粒子について個別に計算する必要があるため、多くの場合においてPICシミュレーションで最も時間がかかる部分は particle mover コードである。従って、この部分は高い精度と速度をもつ必要があり、様々なスキームの最適化に多大な労力が費やされている。

運動方程式を解く際に使用されるスキームは、陰解法と陽解法の2つに分類される。陰解法 (例えば修正オイラー法) では、同じ時間ステップ内で更新される場の情報から粒子速度を計算するが、陽解法では、前回の時刻における力の情報のみを使用するため、ソルバーは比較的単純で高速に動作する。ただしその代わりに、陽解法では小さい時間ステップ幅が必要となる。PICシミュレーションでは、リープ・フロッグ法 がよく使用される。