PID制御（ピーアイディーせいぎょ、Proportional-Integral-Differential Controller、PID Controller）は、制御工学におけるフィードバック制御の一種である。出力値と目標値との偏差、その積分、および微分の3つの要素によって、入力値の制御を行う方法である[1]。古典制御論の枠組みで体系化されたもので長い歴史を持っており、これを基に様々なフィードバック制御手法が開発・提案され続けている。過去の実績や技術者の経験則の蓄積により調整を行いやすいため、産業界では主力の制御手法であると言われている。
P制御

基本的なフィードバック制御として比例制御（P制御）がある[2]。これは操作量を制御量と目標値の偏差の一次関数として制御するものである。

ここで、ある制御対象の制御する量を制御量、出力などと呼び[3]、制御量に追従させたい希望の値を目標値[4]と呼び、目標値を得るため制御対象を操作する量あるいは制御対象に入力する量を操作量、入力などと呼ぶ[3]。なお、ある時刻tでの操作量をu(t)、出力値をy(t)、目標値をr(t)とする。このとき、目標値と現状の制御量との差を、制御偏差、偏差などと呼びe(t)で表し[5][6]、r(t) - y(t)である[5]。ここでラプラス変換にもとづく伝達関数で上記の式を表現すると、 E ( s ) = R ( s ) − Y ( s ) {\displaystyle E(s)=R(s)-Y(s)}

となる。ただし、sは複素数である[5][6]。

この時、P制御による制御入力は u ( t ) = K p e ( t ) = K p ( r ( t ) − y ( t ) ) {\displaystyle u(t)=K_{p}e(t)=K_{p}(r(t)-y(t))}

および U ( s ) = K p E ( s ) = K p ( R ( s ) − Y ( s ) ) {\displaystyle U(s)=K_{p}E(s)=K_{p}(R(s)-Y(s))}

と表される[7][5][6]。よって、P制御を行う調節器の伝達関数をC(s)とすれば、 C ( s ) = K p {\displaystyle C(s)=K_{p}}

となる[8]。

PID制御では、この偏差に比例して操作量を変化させる動作を、比例動作あるいはP動作（PはProportionalの略）という。定数Kpは比例ゲイン、Pゲインと呼ばれる[7]。
問題点

比例制御においてはKpを変えない限り、入力値に対して出力値は常に決まっている。しかし、実際に制御を行う場合には同じ入力値に対しても周囲の環境などによって出力値を変えなければならないことがある。例えばある装置の温度を60℃に保ちたいときにその外気温が10℃のときと30℃のときでは加熱に必要な熱量を変えなければならない。このような状況下で外気温が10℃の時に、外気温が30℃の時に60℃に到達するKpの値を使用して比例制御を行うと、熱量が足りず目標値に到達することができない。このようにして生じる制御結果と目標値との偏差を定常偏差またはオフセットまたは残留偏差という[9]。
PI制御

P制御において、周囲の環境が変わるたびに残留偏差をなくすよう、Kpを決定しなおすのは難しい。そこで、2つ目の項を付け加える。 u ( t ) = K p e ( t ) + K i ∫ 0 t e ( τ ) d τ {\displaystyle u(t)=K_{p}e(t)+K_{i}\int _{0}^{t}e(\tau )\,d\tau }

この項は残留偏差が存在する場合、その偏差の時間積分に比例して入力値を変化させる動作をする[10]。つまり偏差のある状態が長い時間続けばそれだけ入力値の変化を大きくして目標値に近づけようとする役目を果たす。定数Kiは積分ゲイン、Iゲインと呼ばれる[10]。

また、積分ゲインをKi = Kp / Tiで表し、上式に代入すると、 u ( t ) = K p ( e ( t ) + 1 T i ∫ 0 t e ( τ ) d τ ) {\displaystyle u(t)=K_{p}\left(e(t)+{1 \over T_{i}}\int _{0}^{t}e(\tau )\,d\tau \right)}

このTiは積分時間と呼ばれる。積分時間の物理的意味は、ある一定の大きさのオフセットが継続した（つまりe(t)が一定）のときにP動作とI動作の項が同じになるのに要する時間である。

P制御と同じく、PI制御を伝達関数で表現すれば、 U ( s ) = ( K p + K i s ) E ( s ) = K p ( 1 + 1 T i s ) E ( s ) {\displaystyle U(s)=\left(K_{p}+{\frac {K_{i}}{s}}\right)E(s)=K_{p}\left(1+{\frac {1}{T_{i}s}}\right)E(s)}

となる[7]。PI制御の伝達関数C(s)は以下のようになる[8]。