p-進付値（ぴーしんふち、p-adic valuation）とは、数学において、素数 p に対して有理数体あるいは p-進数体に定義される付値の一種である。p-進付値は p-進距離と呼ばれる距離を定める。

有理数 x に対して、負の指数を許した次のような素因数分解 x = s g n ( x ) ⋅ p 1 e 1 p 2 e 2 ⋯ p n e n ( e i ∈ Z ) {\displaystyle x=\mathrm {sgn} (x)\cdot p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{n}^{e_{n}}\quad (e_{i}\in \mathbb {Z} )}

（pi はi番目に小さい素数）を考えたときの ei が x の pi-進付値である。ただし、sgn は符号関数。
定義

素数 p をとる。0 でない任意の有理数 x に対し、次を満たすような整数 n, a, b が一意的に存在する。
a と b と p はどの二つも互いに素、

a > 0、

x = a b ⋅ p n {\displaystyle x={\frac {a}{b}}\cdot p^{n}} 。

すなわち、n は x を割り切るような p-冪のうちの最大の冪指数である。このとき、n を x の p-進付値 とよび、n = vp(x) などと表す。また、0 の付値は ∞ であると定める。p-進付値は x = limn→∞ xn (xn ∈ Q) に対し、 v p ( x ) = lim n → ∞ v p ( x n ) {\displaystyle v_{p}(x)=\lim _{n\to \infty }v_{p}(x_{n})}

とおくことにより、有理数体 Q から p-進数体 Qp に延長される。これは次のようにも言い換えられる。つまり、環 R を有理整数環 Z の素数 p における局所化 Z(p)（あるいは p-進整数環 Zp）とすると、R の極大イデアル m は p の生成する単項イデアル (p) = pZ(p)（あるいは pZp）であり、他の任意のイデアルは極大イデアルの冪 mn = (pn) として得られることが確かめられるが、このことを用いて R の元 x, y (y ≠ 0) に対して v p ( x ) := inf { n ∈ N ≥ 0 ∣ x ∈ m n } , {\displaystyle v_{p}(x):=\inf\{n\in \mathbb {N} _{\geq 0}\mid x\in \mathbf {m} ^{n}\},} v p ( x / y ) := v p ( x ) − v p ( y ) {\displaystyle v_{p}(x/y):=v_{p}(x)-v_{p}(y)}

と定めた vp は p-進付値を与えるのである。
性質

p-進賦値 vp は加法賦値である。すなわち、 v p ( m ⋅ n ) = v p ( m ) + v p ( n ) , v p ( m + n ) ≥ min { v p ( m ) , v p ( n ) } {\displaystyle {\begin{aligned}v_{p}(m\cdot n)&=v_{p}(m)+v_{p}(n),\\v_{p}(m+n)&\geq \min\{v_{p}(m),v_{p}(n)\}\end{aligned}}}

を満たす。

P = {p 。p は素数または ∞} とおくと、0 でない任意の有理数 x に対し、 ∏ p ∈ P 。 x 。 p = 1 {\displaystyle \prod _{p\in P}|x|_{p}=1}

が成り立つ。ただし、|・|∞ は通常の絶対値のこととする。これを、Q において積公式が成り立つといい表す。
非アルキメデス距離

p-進付値 vp が与えられたとき、 。 x 。 p = p − v p ( x ) {\displaystyle |x|_{p}=p^{-v_{p}(x)}}

と定めて、これを x の p-進絶対値 と呼ぶ。p-進絶対値は乗法賦値であり、任意の二つの有理数（あるいは p-進数） x, y に対し、二変数の関数 dp(x, y) を d p ( x , y ) = 。 x − y 。 p {\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}}

と定義すると、dp(x, y) は有理数体 Q（あるいは p-進数体 Qp）の上に 距離位相を与える。これを p-進距離とよぶ。p-進距離は超距離（非アルキメデス距離）である。

数列 {pn} は（通常の距離 d∞(x, y) = 。x - y 。に関しては無限大に発散するが）、p-進距離に関して 0 に収束する。つまり、p-進距離の入った空間では p の高い冪を含むほどに小さいと認識されるのである。また、 ∑ n = 0 ∞ p n = 1 1 − p {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p^{n}={\frac {1}{1-p}}}