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LTIシステム理論（英語: LTI system theory）は、電気工学、特に電気回路、信号処理、制御理論といった分野で、線型時不変系（linear time-invariant system）に任意の入力信号を与えたときの応答を求める理論である。通常、独立変数は時間だが、空間（画像処理や場の古典論など）やその他の座標にも容易に適用可能である。そのため、線型並進不変（linear translation-invariant）という用語も使われる。離散時間（標本化）系では対応する概念として線型シフト不変（linear shift-invariant）がある。 任意の線型時不変系の属性を定義するのは、当然ながら線型性（linearity）と時不変性（time invariance）である。 線型性とは、システムの入力と出力の関係が、重ね合わせ特性を持つことを意味する。システムへの入力が次のように2つの信号を足し合わせたものであるとする。 x ( t ) = x 1 ( t ) + x 2 ( t ) {\displaystyle x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)\,} すると、システムの出力は次のようになる。 y ( t ) = y 1 ( t ) + y 2 ( t ) {\displaystyle y(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)\,} ここで、 y n ( t ) {\displaystyle y_{n}(t)} は入力が x n ( t ) {\displaystyle x_{n}(t)} だけだったときの出力を意味する。 このような重ね合わせ特性がある場合、任意の有理数スカラーについてスケーリング特性が得られる。入力 x ( t ) {\displaystyle x(t)} による出力が y ( t ) {\displaystyle y(t)} であるとき、入力 c x ( t ) {\displaystyle cx(t)} による出力は c y ( t ) {\displaystyle cy(t)} となる。 以上を形式的に表すと、線型系は次のような特性を示す。まず、システムに次の入力を与えるとする。 x ( t ) = ∑ n c n x n ( t ) {\displaystyle x(t)=\sum _{n}c_{n}x_{n}(t)\,} すると、そのシステムの出力は次のようになる。 y ( t ) = ∑ n c n y n ( t ) {\displaystyle y(t)=\sum _{n}c_{n}y_{n}(t)\,} c n {\displaystyle c_{n}} は任意の定数であり、 y n ( t ) {\displaystyle y_{n}(t)} は入力が x n ( t ) {\displaystyle x_{n}(t)} だけだったときの出力を意味する。 時不変性とは、システムにある入力信号を現時点や T 秒後に与えたとき、T 秒のずれが生じるだけで出力信号が同じになることを意味する。入力 x ( t ) {\displaystyle x(t)} による出力が y ( t ) {\displaystyle y(t)} であるとき、入力 x ( t − T ) {\displaystyle x(t-T)} による出力は y ( t − T ) {\displaystyle y(t-T)} となる。つまり、入力が遅延すれば、出力もそのぶんだけ遅延する。これを時不変という。 LTIシステム理論の基本的な成果は、任意のLTIシステムをインパルス応答と呼ばれる単一の関数で完全に表せるようになったことである。システムの出力は、インパルス応答を持つシステムへの入力の単純な畳み込みである。この解析手法は、時間領域の観点であるといわれることが多い。離散時間線型シフト不変システムでも同様のことが言え、その場合の信号は離散時間の標本群であり、畳み込みはそれらの列に対するものとなる。時間領域（time domain）と周波数領域（frequency domain）の関係 これと等価的に、伝達関数を使ってLTIシステムを周波数領域で解析することもできる。伝達関数とは、システムのインパルス応答をラプラス変換（離散時間の場合はZ変換）したものである。このような変換の特性として、周波数領域のシステムの出力は、入力を変換したものと伝達関数の積で表される。言い換えれば、時間領域での畳み込みと、周波数領域での乗法が等価となっている。 全てのLTIシステムにおいて、固有関数と変換の基底関数は複素指数関数である。システムへの入力が複素波形 A exp ( s t ) {\displaystyle A\exp({st})} （ A {\displaystyle A} は複素振幅、 s {\displaystyle s} は複素周波数）であるとき、その出力は入力にある複素定数を掛けたもの、例えば B exp ( s t ) {\displaystyle B\exp({st})} となり、 B {\displaystyle B} は何らかの新たな複素振幅である。 B / A {\displaystyle B/A} という比は、周波数 s {\displaystyle s} における伝達関数である。
概要
