Kynea数とは、 4 n + 2 n + 1 − 1 {\displaystyle 4^{n}+2^{n+1}-1} または ( 2 n + 1 ) 2 − 2 {\displaystyle (2^{n}+1)^{2}-2} で表される自然数である。
上の数式の通り、4の n 乗と n+1 番目のメルセンヌ数の和である。Kynea数はCletus Emmanuelによって研究され、Cletus Emmanuelの娘の名にちなんでKynea数と名付けられた[1]。Kynea数は小さい順に7, 23, 79, 287, 1087, 4223, 16639, 66047, 263167, 1050623, 4198399, 16785407, ... (A093069
)と続く。 n番目のKynea数を二進記数法で表すと、1の後にn - 1 個の 0 が並び、n + 1 個の 1 が並ぶ。そのため、 4 n + ∑ i = 0 n 2 i {\displaystyle 4^{n}+\sum _{i=0}^{n}2^{i}} とも表現できる。例えば23は二進記数法で10111であり、79は1001111となる。n番目のKynea数とn番目のキャロル数は、2n+1 の符号が異なるだけであるため、その差は 2n+2 である。 Kynea 数 7から3つおきに、Kynea数は7の倍数になる。そのため、3x + 1 番目（0<x）のKynea数は素数にはなりえない。Kynea素数は、小さい順に 7, 23, 79, 1087, 66047, 263167, 16785407, …(A091514 2018年2月 (2018-02)現在[update]
性質
Kynea素数
n10進2進
17111
22310111
3791001111
4287100011111
5108710000111111
642231000001111111
716639100000011111111
86604710000000111111111
92631671000000001111111111
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b進Kynea数を、 (bn + 1)2 − 2 （n ? 1）と定義できる。b進Kynea数はbが奇数の場合には偶数であるため、bが偶数のときにのみKynea素数を持つ。 {(2b)n + 1}2 − 2 が素数となるb進Kynea数の、最小の項は1, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 24, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 8, 2, 1, 1, 2, 172, 1, 1, 354, 1, 1, 3, 29, 3, 423, 8, 1, 11, 1, 5, 2, 4, 11, 1, 6, 1, 3, 57, 24, 368, 1, 1, 1, 11, 19, 1, 3, 1, 13, 1, 12, 1, 41, 3, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 152, 1893, 1, 12, 6, 2, 1, 11, 1, 2, 1, 3, 14, 1, 2, 6, 2, 1, 1017, 3, 30, 6, 3, ...番目に現れる b(bn+1)2 ? 2 が素数となるn (n が30000までは網羅)OEIS
一般化
21, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 18, 21, 23, 27, 32, 51, 65, 87, 180, 242, 467, 491, 501, 507, 555, 591, 680, 800, 1070, 1650, 2813, 3281, 4217, 5153, 6287, 6365, 10088, 10367, 37035, 45873, 69312, 102435, 106380, 108888, 110615, 281621, 369581, 376050, 442052, 621443, 661478, ...A091513
41, 4, 6, 9, 16, 90, 121, 340, 400, 535, 825, 5044, 34656, 53190, 54444, 188025, 221026, 330739, ...
61, 2, 3, 4, 9, 12, 30, 49, 56, 115, 118, 376, 432, 1045, 1310, 6529, 7768, 8430, 21942, 26930, 33568, 50800, ...A100902
81, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 17, 29, 60, 167, 169, 185, 197, 550, 12345, 15291, 23104, 34145, 35460, 36296, 125350, ...
1022, 351, 1061, ...A100904
121, 2, 8, 60, 513, 1047, 7021, 7506, 78858, ...
141, 5, 60, 72, 118, 181, 245, 310, 498, 820, 962, 2212, 3928, 5844, 5937, ...A100906
162, 3, 8, 45, 170, 200, 2522, 17328, 26595, 27222, 110513, ...
181, 10, 21, 25, 31, 1083, 40485, ...
201, 15, 44, 77, 141, 208, 304, 1169, 3359, 5050, 22431, 34935, ...
223, 166, 814, 1851, 2197, 3172, 3865, 19791, ...A100908
2424, 321, 971, 984, ...
261, 2, 8, 78, 79, 111, 5276, 8226, 19545, 75993, ...
281, 2, 11, 15, 586, 993, 5048, 24990, ...
302, 3, 57, 129, 171, 9837, 30359, 157950, ...
321, 3, 13, 36, 111, 136, 160, 214, 330, 1273, 7407, 20487, 21276, 22123, 75210, ...
341, 2, 14, 29, 61, 146, 2901, 6501, 8093, ...
361, 2, 6, 15, 28, 59, 188, 216, 655, 3884, 4215, 10971, 13465, 16784, 25400, ...
386, 279, 3490, ...
402, 49, 144, 825, 2856, 2996, 5166, 7824, 9392, 40778, ...
421, 3, 4, 81, 119, 2046, 2466, 4020, 7907, 8424, 25002, ...
443, 195, 1482, 8210, 20502, 60212, 95940, ...
461, 54, 2040, 3063, ...
481, 207, 329, 1153, 4687, 13274, 25978, ...
504, 38, 93, 120, 4396, 11459, 25887, ...
2018年2月 (2018-02)現在[update], b進Kynea数で知られている最大の素数は (30157950 + 1)2 − 2 である。 キャロル数
関連項目
参考文献^ ⇒Cletus Emmanuel's statement on Yahoo group PrimeNumbers
^ ⇒Entry for 661478th Kynea number at Prime Pages
^ ⇒Carol and Kynea Prime Search by Mark Rodenkirch
外部リンク
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⇒Prime Database entry for Kynea(661478)
⇒Carol and Kynea Primes
⇒Carol and Kynea Prime Search
表
話
編
歴
素数の分類
生成式
フェルマー (22n + 1)
メルセンヌ (2p − 1)
二重メルセンヌ (22p−1 − 1)
ワグスタッフ ((2p + 1)/3)
プロス (k・2n + 1)
階乗 (n! ± 1)
素数階乗 (pn# ± 1)
ユークリッド (pn# + 1)
ピタゴラス (4n + 1)
ピアポント (2u・3v + 1)
Quartan（英語版） (x4 + y4)
ソリナス（英語版） (2a ± 2b ± 1)
カレン (n・2n + 1)
ウッダル (n・2n − 1)
Cuban（英語版） ((x3 − y3)/(x − y))
キャロル ((2n − 1)2 − 2)
Kynea ((2n + 1)2 − 2)
レイランド (xy + yx)
サービト（英語版） (3・2n − 1)
ミルズ ([A]3n)
漸化式（英語版）
フィボナッチ
リュカ
ペル
ニューマン?シャンクス?ウィリアムズ
ペラン
分割
ベル
モツキン
各種の性質
ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）)
ウォール?孫?孫（英語版）
ウォルステンホルム
ウィルソン
幸運
フォーチュン
ラマヌジャン（英語版）
ピライ
正則
強（英語版）
スターン
Supersingular (楕円曲線)（英語版）
Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）
