圏論において、対象の間の射の集合（hom-setともいう）は、集合の圏への関手を構成する。この関手をHom関手（ほむかんしゅ、英語: Hom functor）と呼び、圏論や数学の他の分野で多くの応用を持つ。
定義

C を局所的に小さな圏（英語版）、つまり、任意のhom-クラスが真クラスではなく集合である圏とする。C の中のすべての対象 A と B に対し、次のように集合の圏 Set への関手を定義する。

Hom (A, _) : C → SetHom (_, B) : Cop → Set
共変関手 Hom(A, _) は以下で与えられる：

Hom(A, _) は C の各対象 X を集合 Hom(A, X) へ写す。

Hom(A, _) は C の各射 f : X → Y を、 g ↦ f ∘ g {\displaystyle g\mapsto f\circ g} で定義される写像 Hom(A, f) : Hom(A, X) → Hom(A, Y) へ写す。
反変関手 Hom(_, B) は以下で与えられる：

Hom(_, B) は C の各対象 X を集合 Hom(X, B) へ写す。

Hom(_, B) は C の各射 h : X → Y を、 g ↦ g ∘ h {\displaystyle g\mapsto g\circ h} で定義される写像 Hom(h, B) : Hom(Y, B) → Hom(X, B) へ写す。

関手 Hom(_, B) は、B の点の関手（英語版）（英語: functor of points）とも呼ばれる。関手のペア Hom(A, _) と Hom(_, B) は自然な方法で関係付けられる。任意の射のペア f : B → B' と h : A' → A に対して、次の図式が可換となる。

2つの経路は g : A → B を f?g?h : A' →B' に写す。

上の図式の可換性は、Hom(_, _) が C × C から Set への、第1変数について反変で第2変数について共変である双関手（英語版）であることを示している。すなわち、Hom(_, _) は双関手 H o m ⁡ ( _ , _ ) : C o p × C → S e t {\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,\_):C^{\mathrm {op} }\times C\to \mathbf {Set} } である。Cop は C の逆圏である。関手が圏 C からのものであることを強調するために、HomC (_, _) という記号が使われることもある。
米田の補題詳細は「米田の補題」を参照

上の可換図式を見ると、すべての射 h : A' → A は自然変換 H o m ⁡ ( h , _ ) : H o m ⁡ ( A , _ ) → H o m ⁡ ( A ′ , _ ) {\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (h,\_):\mathop {\mathrm {Hom} } (A,\_)\to \mathop {\mathrm {Hom} } (A',\_)} を与え、すべての射 f : B →B' は自然変換 H o m ⁡ ( _ , f ) : H o m ⁡ ( _ , B ) → H o m ⁡ ( _ , B ′ ) {\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,f):\mathop {\mathrm {Hom} } (\_,B)\to \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,B')} を与える。米田の補題は、Hom関手の間のすべての自然変換はこの形であると主張する。言い換えると、Hom関手は、圏 C から関手圏 SetCop への埋め込みとなる充満かつ忠実な関手を与える。
内部Hom関手

圏 C 上の関手が、Set ではなく圏 C 自身に値を持ち、Hom のような振る舞いをする関手を持っているかもしれない。そのような関手は内部Hom関手と呼ばれ、しばしば [ _ , _ ] : C o p × C → C {\displaystyle \left[\_,\_\right]:C^{\mathrm {op} }\times C\to C}

と書かれたり、 ⇒ : C o p × C → C {\displaystyle {\mathord {\Rightarrow }}:C^{\mathrm {op} }\times C\to C} と書かれたりする。あるいは、単に小文字のみで hom ( _ , _ ) : C op × C → C {\displaystyle {\text{hom}}(\_,\_):C^{\text{op}}\times C\to C}

と書かれることもある。例としてはen:Category of relationsなどを参照。内部Hom関手を持つ圏は、閉圏（英語版）と呼ばれる。

閉圏の単位対象を I とする。このとき、次の同型が成り立つ。 Hom ( I , hom ( − , − ) ) ≃ Hom ( − , − ) {\displaystyle {\text{Hom}}(I,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-)} 閉モノイダル圏の場合には、これはカリー化の概念へ拡張される。すなわち、 Hom ( X , Y ⇒ Z ) ≃ Hom ( X ⊗ Y , Z ) {\displaystyle {\text{Hom}}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)}

である。ここで ⊗ {\displaystyle \otimes } はモノイダル圏の定義によって与えられる内部積関手である。同型は X と Z の双方で自然である。言い換えると、閉モノイダル圏では、内部Hom関手は内部積関手の随伴関手である。対象 Y ⇒ Z {\displaystyle Y\Rightarrow Z} を内部Homと呼ぶ。 ⊗ {\displaystyle \otimes } がデカルト積 × {\displaystyle \times } であるとき、対象 Y ⇒ Z {\displaystyle Y\Rightarrow Z} を指数対象と呼び、 Z Y {\displaystyle Z^{Y}} と書くこともある。

内部Homは、圏の内部言語（英語版）と呼ばれる言語を形成する。最も有名なものには、デカルト閉圏の内部言語である単純型付きラムダ計算や、対称モノイダル閉圏の内部言語である線形型システム（英語版）がある。
性質

次の形の関手は前層である： H o m ⁡ ( _ , A ) : C o p → S e t {\displaystyle \mathop {\mathrm {Hom} } (\_,A):C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} } 同様に、Hom(A, _) の形の関手は余前層である。


関手 F : C → Set がある Hom(A, _) と自然に同型であるとき、F は表現可能関手であるという。同様に、Hom(_, A) に自然同型な関手は余表現可能と呼ばれることもある。


関手 Hom(_, _) : Cop × C → Set は定義からプロファンクタ（英語: Profunctor）であり、特に恒等プロファンクタ id C : C ↛ C {\displaystyle {\text{id}}_{C}\colon C\nrightarrow C} である。


内部hom関手は極限を保存する。すなわち、hom(X, _) : C → C は極限を極限へ写し、同様に hom(_, X) : Cop → C は Cop の極限（すなわち C の余極限）を C の極限に写す。ある意味では、このことは極限や余極限の定義として採用することもできる。


A をアーベル圏、A を A の対象とすると、HomA (A, _) は、A からアーベル群の圏 Ab への左完全共変関手である。この関手が完全であることと、A が射影的対象であることとは同値である[1]。


R を環、M を左 R-加群とする。関手 HomR (M, _) : Mod-R → Ab は、テンソル積関手 _ ?R M : Ab → Mod-R の右随伴関手である。

関連項目

Ext関手

関手圏

表現可能関手

脚注^ Jacobson (2009), p. 149, Prop. 3.9.

参考文献

Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician (Second ed.). Springer. .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 0-387-98403-8