一定の温度が維持されている空間 T o {\displaystyle T_{o}} を仮定した場合, 均質な反応混合物を含有する。 容器の特徴的な大きさを a {\displaystyle a} とする。 混合物は均質であるので、密度 ρ {\displaystyle \rho } は一定である。 発火初期の間、反応物の濃度は無視できる（下記の fuel + oxidizer → products + q {\displaystyle {\text{fuel}}+{\text{oxidizer}}\rightarrow {\text{products}}+q} を参照）、したがって爆発はアレニウスの式のみによって支配される。 ρ c v ∂ T ∂ t = λ ∇ 2 T + q ρ B Y F o e − E / ( R T ) {\displaystyle \rho c_{v}{\frac {\partial T}{\partial t}}=\lambda \nabla ^{2}T+q\rho BY_{Fo}e^{-E/(RT)}} 無次元活性化エネルギー β {\displaystyle \beta } と放熱パラメータ γ {\displaystyle \gamma } は次のように示される。 β = E R T o , γ = q Y F o c v T o {\displaystyle \beta ={\frac {E}{RT_{o}}},\quad \gamma ={\frac {qY_{Fo}}{c_{v}T_{o}}}} 容器を伝わる特徴的な熱伝導時間は t c = ρ c v a 2 / λ {\displaystyle t_{c}=\rho c_{v}a^{2}/\lambda } で表され、特徴的な燃焼時間は t f = ( B e − β ) − 1 {\displaystyle t_{f}=\left(Be^{-\beta }\right)^{-1}} で表され、特徴的な爆発/着火時間は t e = ( β γ B e − β ) − 1 {\displaystyle t_{e}=\left(\beta \gamma Be^{-\beta }\right)^{-1}} で表される。 典型的な燃焼プロセスにおいて γ ∼ 6 − 8 , β ∼ 30 − 100 {\displaystyle \gamma \sim 6{-}8,\ \beta \sim 30{-}100} は β γ ≫ 1 {\displaystyle \beta \gamma \gg 1} 、したがって t f = β γ t e ≫ 1 {\displaystyle t_{f}=\beta \gamma t_{e}\gg 1} , i.e.であることに注意すべきであり、本質的に無視できる程度であり、燃料濃度が初期燃料濃度と同じであると仮定される理由である Y F o {\displaystyle Y_{Fo}} 無次元のスケールは以下の式で表される。 τ = t t e , θ = β ( T − T o ) T o , η j = r j a , δ = t c t e {\displaystyle \tau ={\frac {t}{t_{e}}},\quad \theta ={\frac {\beta (T-T_{o})}{T_{o}}},\quad \eta ^{j}={\frac {r^{j}}{a}},\quad \delta ={\frac {t_{c}}{t_{e}}}} ここで δ {\displaystyle \delta } はダムケラー数
T {\displaystyle T} 混合物の温度
c v {\displaystyle c_{v}} 一定の熱容量
λ {\displaystyle \lambda } 熱伝導率
B {\displaystyle B} 時間の経過と共に1の次元を有する頻度因子
Y F o {\displaystyle Y_{Fo}} 初期燃料の質量分率
E {\displaystyle E} 活性化エネルギー
R {\displaystyle R} 気体定数
無次元化
Since β ≫ 1 {\displaystyle \beta \gg 1} ,指数項を線形化すると e θ / ( 1 + θ / β ) ≈ e θ {\displaystyle e^{\theta /(1+\theta /\beta )}\approx e^{\theta }} となる。 ∂ θ ∂ τ = 1 δ 1 η j ∂ ∂ η ( η j ∂ θ ∂ η ) + e θ {\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial \tau }}={\frac {1}{\delta }}{\frac {1}{\eta ^{j}}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\left(\eta ^{j}{\frac {\partial \theta }{\partial \eta }}\right)+e^{\theta }}
リファレンス^ Frank-Kamenetskii, David Albertovich. Diffusion and heat exchange in chemical kinetics. Princeton University Press, 2015.
^ Linan, Amable, and Forman Arthur Williams. "Fundamental aspects of combustion." (1993).
^ Williams, Forman A. "Combustion theory." (1985).
^ Buckmaster, John David, and Geoffrey Stuart Stephen Ludford. Theory of laminar flames. Cambridge University Press, 1982.
^ Buckmaster, John D., ed. The mathematics of combustion. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1985.
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