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e 進法とは、記数法の底に自然対数の底（ネイピア数 e {\displaystyle e} ）を使った記数法である。（実用的ではないが）ある仮定の下で最も経済的である、という特徴がある。
e 進法が最も経済的な記数法であることの証明

数を x {\displaystyle x} ( x > 0 , x ∈ R {\displaystyle x>0,x\in \mathbb {R} } )進法で表すとしたとき，
この数一桁を表すのに x {\displaystyle x} 個の記憶素子が要求されるものと仮定する。このとき、 n {\displaystyle n} ( n {\displaystyle n} は定数)桁の数を表すのに必要な記憶素子の数 N ( x ) {\displaystyle N(x)} は，

N ( x ) = n x {\displaystyle N(x)=nx}

と表せる．
また， x {\displaystyle x} 進法で表された n {\displaystyle n} 桁の数の情報量 I {\displaystyle I} ( I {\displaystyle I} は定数， I > x {\displaystyle I>x} )について，

I = x n ⇔ n = log x ⁡ I = ln ⁡ I ln ⁡ x {\displaystyle I=x^{n}\Leftrightarrow n=\log _{x}I={\frac {\ln I}{\ln x}}}

従って， I {\displaystyle I} の情報量を x {\displaystyle x} 進法の n {\displaystyle n} 桁で表すのに必要な記憶素子の数 N ( x ) {\displaystyle N(x)} は，

N ( x ) = n x = ln ⁡ I ⋅ x ln ⁡ x {\displaystyle N(x)=nx=\ln I\cdot {\frac {x}{\ln x}}}

ここで，

{ N ′ ( x ) < 0 0 < x < 1 N ′ ( x ) > 0 x > 1 {\displaystyle {\begin{cases}N^{\prime }(x)<0&0<x<1\\N^{\prime }(x)>0&x>1\end{cases}}}

より， N ( x ) {\displaystyle N(x)} を最小にする x {\displaystyle x} の値を求めるには， N ( x ) {\displaystyle N(x)} の微分係数が0となるような x {\displaystyle x} の値を求めれば良い．

N ′ ( x ) = ln ⁡ I ⋅ ( x ln ⁡ x ) ′ = ln ⁡ I ⋅ ln ⁡ x − 1 ( ln ⁡ x ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}N^{\prime }(x)&=\ln I\cdot \left({\frac {x}{\ln x}}\right)^{\prime }\\&=\ln I\cdot {\frac {\ln x-1}{\left(\ln x\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}

ln ⁡ x = 1 {\displaystyle \ln x=1} のとき， N ′ ( x ) = 0 {\displaystyle N^{\prime }(x)=0} であるので，

x = e {\displaystyle x=e}

以上より最も高効率な記数法は e {\displaystyle e} 進法である．
参考文献

伊東規之『マイクロコンピュータの基礎』日本理工出版会

桜井進『超・超面白くて眠れなくなる数学』PHP研究所

関連項目

ネイピア数

広義の記数法

三進法