club集合 (クラブしゅうごう) あるいは閉非有界集合は、極限順序数の部分集合のうち、順序位相の意味で閉であり、基準となっている極限順序数の中で非有界なものである。

club という名前は、closed (閉) と unbounded (非有界) の合成語である。
正式な定義

正式には、 κ {\displaystyle \kappa } を極限順序数として、 C ⊂ κ {\displaystyle C\subset \kappa } が κ {\displaystyle \kappa } の中で閉であるということは、任意の α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } に対して、「 sup ( C ∩ α ) = α ≠ 0 {\displaystyle \sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0} ならば α ∈ C {\displaystyle \alpha \in C} 」となることである。従って、 C {\displaystyle C} の中の点列の極限が κ {\displaystyle \kappa } 未満であればそれは C {\displaystyle C} に属する。

κ {\displaystyle \kappa } を極限順序数として、 C ⊂ κ {\displaystyle C\subset \kappa } が κ {\displaystyle \kappa } の中で非有界であるということは、任意の α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } に対して、 α < β {\displaystyle \alpha <\beta } なる β ∈ C {\displaystyle \beta \in C} が存在するということである。

閉かつ非有界な集合をclub集合という。閉な真クラスも同様に定義される(全ての順序数による真クラスの中で、順序数の任意の真クラスは非有界である)。

例として、可算極限順序数全てによる集合は ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} の中でclubである。しかし、それより大きい極限順序数の中ではclubではない。閉でないし非有界でもないからである。正則基数 κ {\displaystyle \kappa } に対して、 κ {\displaystyle \kappa } 未満の極限順序数全てによる集合は κ {\displaystyle \kappa } 内でclubである。
clubフィルター

κ {\displaystyle \kappa \,} を共終数 λ {\displaystyle \lambda \,} の極限順序数とする。ある α < λ {\displaystyle \alpha <\lambda \,} に対して、列 ⟨ C ξ : ξ < α ⟩ {\displaystyle \langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle \,} が κ {\displaystyle \kappa \,} のclub集合の列であったとする。このとき、 ⋂ ξ < α C ξ {\displaystyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,} もclubである。これを見るために、閉集合たちの共通部分は閉集合であるのは簡単なので、この集合が非有界であることを確かめる。

β 0 < κ {\displaystyle \beta _{0}<\kappa \,} を任意にとる。ある n < ω {\displaystyle n<\omega } に対して β n {\displaystyle \beta _{n}} が存在するとき、 C ξ {\displaystyle C_{\xi }\,} から β n + 1 ξ > β n {\displaystyle \beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}\,} となるように、 β n + 1 ξ {\displaystyle \beta _{n+1}^{\xi }} をとる。これは各 C ξ {\displaystyle C_{\xi }\,} が非有界だから可能。そして、これらによる集合は順序数 λ {\displaystyle \lambda \,} 未満の長さであり、この集合の上限は κ {\displaystyle \kappa \,} 未満である。そこで、これを β n + 1 {\displaystyle \beta _{n+1}\,} と定める。この方法により、可算列 β 0 , β 1 , β 2 , … {\displaystyle \beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\dots \,} を得る。

この列の極限は β 0 ξ , β 1 ξ , β 2 ξ , … {\displaystyle \beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\dots \,} の極限でもある。そして各 C ξ {\displaystyle C_{\xi }\,} は閉で λ {\displaystyle \lambda \,} が非可算なので、この極限は各 C ξ {\displaystyle C_{\xi }\,} の元であるべきで、これは β 0 < κ {\displaystyle \beta _{0}<\kappa \,} より真に大きい ⋂ ξ < α C ξ {\displaystyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,} の元である。これで ⋂ ξ < α C ξ {\displaystyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,} が非有界であることが示された。このことから、 κ {\displaystyle \kappa \,} が正則基数であるとき { S ⊂ κ : ∃ C ⊂ S  such that  C  is club in  κ } {\displaystyle \{S\subset \kappa :\exists C\subset S{\text{ such that }}C{\text{ is club in }}\kappa \}\,} は非自明な κ {\displaystyle \kappa \,} 上の κ {\displaystyle \kappa \,} -完備フィルターである。これをclubフィルターといい、 club ⁡ ( κ ) {\displaystyle \operatorname {club} (\kappa )} と表す。clubフィルターは対角線共通部分 (diagonal intersection) について閉じている。

これがフィルターであることを見る。

まず、 κ ∈ club ⁡ ( κ ) {\displaystyle \kappa \in \operatorname {club} (\kappa )} である( κ {\displaystyle \kappa } 自身は κ {\displaystyle \kappa } のclub集合である)。 x ∈ club ⁡ ( κ ) {\displaystyle x\in \operatorname {club} (\kappa )} ならば、 x {\displaystyle x} を部分集合としてもつ κ {\displaystyle \kappa } の部分集合はやはり club ⁡ ( κ ) {\displaystyle \operatorname {club} (\kappa )} の元である。 κ {\displaystyle \kappa } -完備であることは上で証明してあった。よって、これでフィルター性は確認された。

club ⁡ ( κ ) {\displaystyle \operatorname {club} (\kappa )} が対角線共通部分について閉じていることを確認する。 ⟨ C i 。 i < κ ⟩ {\displaystyle \langle C_{i}|i<\kappa \rangle } をclub集合の列とする。 C {\displaystyle C} をその対角線共通部分すなわち C = Δ i < κ C i {\displaystyle C=\Delta _{i<\kappa }C_{i}} とする。 C {\displaystyle C} が閉であることを示す。 S ⊂ C {\displaystyle S\subset C} かつ S ⊂ α < κ {\displaystyle S\subset \alpha <\kappa } かつ ⋃ S = α {\displaystyle \bigcup S=\alpha } とする。このとき、 γ ∈ S {\displaystyle \gamma \in S} とすると、各 β < γ {\displaystyle \beta <\gamma } に対して、 γ ∈ C β {\displaystyle \gamma \in C_{\beta }} である。各 β < α {\displaystyle \beta <\alpha } について、 α ∈ C β {\displaystyle \alpha \in C_{\beta }} である。従って、 α ∈ C {\displaystyle \alpha \in C} である。よって、閉集合であることは示された。 C {\displaystyle C} が非有界であることを示す。 α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } として、可算列 ⟨ ξ i 。 i < ω ⟩ {\displaystyle \langle \xi _{i}|i<\omega \rangle } を以下のように定義する: ξ 0 = α {\displaystyle \xi _{0}=\alpha } とし、 ξ i + 1 {\displaystyle \xi _{i+1}} を、 ξ i + 1 > ξ i {\displaystyle \xi _{i+1}>\xi _{i}} なるうちでの ⋂ γ < ξ i C γ {\displaystyle \bigcap _{\gamma <\xi _{i}}C_{\gamma }} の最小要素とする。そのような要素は、多くないclub集合の共通部分がclubなので存在する。そして ξ = ⋃ i < ω ξ i > α {\displaystyle \xi =\bigcup _{i<\omega }\xi _{i}>\alpha } かつ ξ ∈ C {\displaystyle \xi \in C} である。それは、全ての i < ξ {\displaystyle i<\xi } について、その要素が C i {\displaystyle C_{i}} の元だからである。