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位相幾何学において、CW複体（CWふくたい）とは、ホモトピー理論の要請を満たすためにJ. H. C. Whiteheadによって導入された位相空間の一種である。この空間は、単体複体よりも広義の概念であり、いくつかの優れた圏論的特性を備える一方、特に非常に小さい複体における計算で役立つ連結性を有する。
構成

CW複体は胞体 (cell)と呼ばれる基本要素で構成され、より厳密には、胞体がどのようにトポロジー的に張り合わせられるかを規定する。CW複体のCは「閉包有限性」(closure finite)[1]を表し、Wは「弱い位相」(weak topology)を表す。

n {\displaystyle n} 次元の閉胞体とは、 n {\displaystyle n} 次元ユークリッド空間上の閉球体 D n {\displaystyle D^{n}} に同相な空間を指す。一例として、 n {\displaystyle n} 次元空間における単体 (三次元空間なら四面体)は閉胞体であり、より一般的に言えば、凸超多面体が閉胞体に対応する。一方で、 n {\displaystyle n} 次元の開胞体は、 D n {\displaystyle D^{n}} の内部に同相な空間を指す。なお、0次元の開（および閉）胞体は、一点空間と定める。

CW複体は、ハウスドルフ空間 X {\displaystyle X} と、次の2つの性質を満たす開胞体への分割 { e α k } {\displaystyle \{e_{\alpha }^{k}\}} を指す。

各開胞体 e α n {\displaystyle e_{\alpha }^{n}} に対して、 n {\displaystyle n} 次元の閉球体からの連続写像 f : D n → X {\displaystyle f:D^{n}\to X} が存在し、以下の2つの条件を満たす。

f {\displaystyle f} の定義域を D n {\displaystyle D^{n}} の内部に制限した時、これは e α n {\displaystyle e_{\alpha }^{n}} への同相写像である。

D n {\displaystyle D^{n}} の境界 ∂ D n {\displaystyle \partial D^{n}} は、 { e α k } {\displaystyle \{e_{\alpha }^{k}\}} に含まれる有限個の胞体の合併へと写され、この有限個の胞体の次元がいずれも n {\displaystyle n} 以下である (この条件が閉包有限性に対応する)。


X {\displaystyle X} の部分集合 A {\displaystyle A} に対し、 X {\displaystyle X} に含まれる任意の胞体の閉包と A {\displaystyle A} との交叉 e ¯ α n ∩ A {\displaystyle {\bar {e}}_{\alpha }^{n}\cap A} が e ¯ α n {\displaystyle {\bar {e}}_{\alpha }^{n}} における閉集合となる場合、かつその場合に限り、 A {\displaystyle A} が閉集合になる (この条件が弱い位相に対応する)。

正則CW複体

とあるn次元の閉球体からCW複体全体への連続写像について、その写像の値域をXの分割に含まれる各開胞体Cの閉包に限定すると、その写像fが同型写像となる場合、このCW複体を正則であるという。
相対CW複体

CW複体の定義ではXの分割に現れるXの部分集合は全て胞体でなければならず、すなわち、各部分集合はとあるn次元空間上の開球体と同相でなければならなかった。これに対して、相対CW複体では、Xの分割に現れる部分集合のうち1つだけは胞体の性質を保つ必要がなく、この胞体の性質を持たない部分集合を特に-1次元の胞体として取り扱う。[1][2][3][4]
例

実数の標準CW構造 として、0スケルトンの整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } がある。そして1セルとして区間 { [ n , n + 1 ] : n ∈ Z } {\displaystyle \{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}} がある。同様に、上の標準CW構造 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} からの0セルと1セルの積である立方体セル R {\displaystyle \mathbb {R} } がある。さらに、標準の立方格子 セル R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} がる。

多面体 はCW複体。

グラフは1次元のCW複体。三価グラフは、一般的な 1次元CW複体と見なすことができる。具体的には、X が1次元のCW複体である場合、1セルの添字写像は2点空間からX への写像 f : { 0 , 1 } → X {\displaystyle f:\{0,1\}\to X} 、この写像はXを 0スケルトンから切り離す。