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出典検索?: "BEAF" ? ニュース ・ 書籍 ・ スカラー ・ CiNii ・ J-STAGE ・ NDL ・ dlib.jp ・ ジャパンサーチ ・ TWL（2021年3月）

BEAF (Bowers Exploding Array Function) とは、Jonathan Bowersによって考案された、巨大数を表すための表記法の一つである[1]。クヌースの矢印表記を拡張して配列表記を作り、更にその配列表記を拡張して作られている。

@media screen{.mw-parser-output .fix-domain{border-bottom:dashed 1px}}現代[いつ?]の巨大数界のかなりの範囲をカバーできる巨大数表記法であることが想定されている。ただし2021年現在、BEAFの定義が数学的に意味を持つように定式化されているのはテトレーション配列のレベルまでであり、テトレーション配列を超えるレベルを表すことが想定されている記号や表記法も考案されているが、これは定義が未完成である。
定義[2]

「基数」 (b) は、配列の1番目の要素である。

「プライム」 (p) は、配列の2番目の要素である。

「パイロット」は、プライムの次の最初の1ではない要素である。パイロットは3番目以降の要素となる。

「副操縦士」は、パイロットの1つ前の要素である。パイロットが行の中で1番目の要素であれば、副操縦士は存在しない。

「構造」は配列の一部で、配列よりも低次元なグループによって構成されるものである。構造は、要素 (X^0 と書く)、行 ( X^1と書く)、平面 (X^2)、3次元の領域 (X^3)、4次元のフルーン (X^4)、さらに高次元の構造 (X^5, X^6 等)、そして  のようなテトレーション構造、といった可能性がある。さらに、そこから先はペンテーション構造、ヘキセーション構造, ..., 膨張構造, ... と続く。

「前の要素」は、パイロットと同じ行にあり、パイロットよりも前にある要素である。「前の行」は、パイロットと同じ平面にあり、パイロットよりも前にある行である。「前の平面」は、パイロットと同じ領域にあり、パイロットよりも前にある平面である。同様に、定義を続けることができる。これらは「前の構造」と呼ばれる。

構造  Sの「プライムブロック」は、構造を表記する記号の Xをすべて p に置き換えたものである。例えば、もしS=X^3であれば、プライムブロックはp^3 、すなわち一辺の長さが p の立方体となる。 X^X構造のプライムブロックはp^p 、すなわち一辺が  pの p次元超立方体となる。

「飛行機」は、パイロットと、すべての前の要素と、すべての前の構造のプライムブロックを含んだものである。

「乗客」は、飛行機の中のパイロットと副操縦士以外の要素である。

配列 A の値は  u(A)と表記する。

ルール[2]
プライムルール: もし p=1 であれば、u(A)=b  とする。

初期ルール: もしパイロットがなければ、u(A)=b^p  とする。

破滅ルール: 1 も 2 もあてはまらない場合には、次のようにする。
パイロットの値を 1 減らす。

副操縦士の値を元の配列のプライムを1減らしたものに置き換える。

すべての乗客を b にする。

配列のそれ以外の要素は変化しない。


解説
ハイパー演算子

まず、BEAFの元になった、ハイパー演算子について記す。詳細はハイパー演算子を参照。
指数表記

乗算は、加算の反復によって定義できる。 a × b = a + a + ⋯ + a ⏟ b  個　の  a {\displaystyle a\times b=\underbrace {a+a+\dots +a} _{b{\text{　個　の　}}a}}

同様に、冪乗は、乗算の反復によって定義できる。 a b = a × a × ⋯ × a ⏟ b  個　の  a {\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\times a\times \dots \times a} _{b{\text{　個　の　}}a}}
拡張

クヌースは、 ↑↑ {\displaystyle \uparrow \uparrow } を、冪乗の繰り返しを表す演算子として再帰的に定義した。 a ↑↑ b = a ↑ ( a ↑↑ ( b − 1 ) ) = a ↑ a ↑ ⋯ ↑ a ⏟ b  個　の  a = a a . . . a ⏟ b  個　の  a {\displaystyle a\uparrow \uparrow b=a\uparrow (a\uparrow \uparrow (b-1))=\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{b{\text{ 個　の　}}a}=\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} _{b{\text{ 個　の }}a}}