完全数（かんぜんすう，英: perfect number）とは、自分自身を除く正の約数の和に等しくなる自然数のことである。完全数の最初の3個は 6 (= 1 + 2 + 3)、28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14)、496 (= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248) である。「完全数」は「万物は数なり」と考えたピタゴラスが名付けた数の一つであることに由来する[1]が、彼がなぜ「完全」と考えたのかについては何も書き残されていないようである[1]。中世の『聖書』の研究者は、「6 は「神が世界を創造した（天地創造）6日間」、28 は「月の公転周期」で、これら2つの数は地上と天界における神の完全性を象徴している」[1]と考えたとされる[2]。古代ギリシアの数学者は他にもあと2つの完全数 (496, 8128) を知っていた[1]。以来、完全数はどれだけあるのかの探求が2500年以上のちの現在まで続けられている。

完全数の定義は、正の約数の総和が自分自身の2倍に等しいことと同値である。すなわち、N が完全数であるとは、約数関数 σ に対して σ(N) = 2N が成り立つことであると表現できる。また、正の約数の逆数和が 2 であると表現することもできる。
目次

1 歴史

2 概要

3 完全数の分類

3.1 偶数の完全数

3.1.1 ユークリッドの証明

3.1.2 オイラーの証明

3.1.3 偶数の完全数の性質

3.1.4 偶数の完全数の未解決問題


3.2 奇数の完全数

3.3 その他の性質


4 完全数でない自然数

4.1 完全数の拡張

4.2 不完全数


5 エピソード

6 脚注

6.1 注釈

6.2 出典


7 参考文献

8 関連項目

9 外部リンク

歴史

完全数に関する最初の成果は紀元前3世紀頃のユークリッドである。彼は『原論』（第9巻、命題36）で、2n − 1 が素数ならば、2n−1(2n − 1) は完全数であることを証明した。2n − 1 が素数となるには n が素数である必要があるため、これにより、2p − 1 が素数となる素数 p の探求に終始されることとなる。2p − 1 を通常 Mp で表し、メルセンヌ数という。メルセンヌ数が素数であるかの判定法が考案され（リュカ1876年、デリック・ヘンリー・レーマー（英語版）1930年代）、1950年代からコンピュータが使われるようになり、現在では分散コンピューティング GIMPS による探求が行われている（詳細はメルセンヌ数を参照）。

ユークリッドの生成式以外から得られる偶数の完全数は存在しないのかという問題は18世紀までは未解決であったが、レオンハルト・オイラーは偶数の完全数はこの形に限ることを証明した[3][4][注釈 1]。

2019年9月現在発見されている完全数はメルセンヌ素数と同じく51個である[5]。紀元前より考察されている対象であるにもかかわらず、「偶数の完全数は無数に存在するか？」、「奇数の完全数は存在するか？」という問題は未解決である。
概要

完全数は、小さい順に6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, …（オンライン整数列大辞典の数列 A000396）

である。

各完全数の正の約数の総和は12, 56, 992, 16256, 67100672, 17179738112, …（オンライン整数列大辞典の数列 A139256）

隣り合う完全数の差は22, 468, 7632, 33542208, 8556318720, …（オンライン整数列大辞典の数列 A139228）

完全数の総和の列は6, 34, 530, 8658, 33558994, …（オンライン整数列大辞典の数列 A092336）

である。

6 と 28 がなぜ「完全」であるかは中世の学者の議論の対象になり、6 は神が創造した1週間（日曜日は神が天地創造を終えて休んだ安息日で、キリスト教ではこれを除外する）、28 は「月の公転周期」とされた[1]。聖アウグスティヌス（? - 604年）はこれとは一線を画し、「6 はそれ自体完全な数である。神が万物を6日間で創造したから 6 が完全なのでなく、むしろ逆が真である」としている[1]。

完全数に関する最初の成果として、紀元前3世紀頃にユークリッドにより2n − 1 が素数ならば、2n−1(2n − 1) は完全数である

ことが彼の著書『原論』で証明されている[注釈 2]。2n − 1 が素数であるためには n が素数である必要がある（証明はメルセンヌ数#基本的な性質を参照）ため、2p − 1 が素数となる素数 p の探求が現在でも行われている。

このことから、紀元前、古代ギリシアでは完全数として 6, 28, 24(25 − 1) = 496, 26(27 − 1) = 8128 が知られていた。

その後、オイラーが登場するまでは、完全数は 212(213 − 1) = 33550336, 216(217 − 1) = 8589869056, 218(219 − 1) = 137438691328 が発見されただけであった。

メルセンヌの予想の表: p ≦ 263
〇：Mpが素数の場合／×：Mpが合成数の場合
水色が正解、ピンク色が間違いを示す[6]。
p235711131719
Mp〇〇〇〇×〇〇〇
p2329313741434753
Mp××〇×××××
p5961677173798389
Mp×〇×××××〇
p97101103107109113127131
Mp×××〇××〇×
p137139149151157163167173
Mp××××××××
p179181191193197199211223
Mp××××××××
p227229233239241251257263
Mp××××××××

1644年、マラン・メルセンヌは「素数 p で 2p − 1 が素数になるのは、p ≦ 257 では p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 の11個の場合だけである」という予想を公表した。この予想は、その後の歴史を見ても画期的、先駆的であったことに敬意を表し、現在では Mn = 2n − 1 をメルセンヌ数、とくに素数であるものはメルセンヌ素数と呼ばれている。

オイラーはメルセンヌの予想発表から128年後の1772年、p = 31 では素数になることを証明した。また、オイラーは、偶数の完全数でこの生成式以外から得られる完全数はないのかという長年の未解決問題を、偶数の完全数はユークリッドの式の形に限るという形で証明している[3][4][注釈 1]。

エドゥアール・リュカは19年かけて39桁の自然数 2127 − 1 が素数であることを確かめ、その結果、1876年、77桁の完全数を発見した。2127 − 1 は、1951年まで具体的に計算された素数のうち最大のものであった[8][9]。リュカは M67 が素数でないことを、素因数分解するのでなく、ある巧妙な素数判定法を考案して証明した。この素数判定法は現在 GIMPS で用いられるリュカ?レーマー・テスト (Lucas?Lehmer primality test) の基礎になっている。

1952年、ラファエル・M・ロビンソンが SWAC を利用して M521 から M2281 まで、5つのメルセンヌ素数を発見して以来、メルセンヌ素数の発見にはコンピュータが用いられている。現在では1996年発足した、分散コンピューティングプロジェクト GIMPS により、35番目のメルセンヌ素数 M1,398,269（1996年11月13日、Joel Armengaud）以来、GIMPSによるメルセンヌ素数の発見が相次いでいる。

2018年12月現在、メルセンヌ素数は51個まで知られている（ただし、順番が確定しているものは、47番目までであり、さらに48, 49, 50, 51番目の候補として p = 57885161, 74207281, 77232917, 82589933 が挙がっており、間に素数がないかどうか検証中である）。

偶数の完全数 2p−1(2p − 1) = (Mp+1)Mp/2 は Mp 番目の三角数でもある。
完全数の分類