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出典検索?: "5の累乗数"
5の累乗数（ごのるいじょうすう）は、適当な自然数 n を選べば、5 の n 乗 5n の形に表せる自然数の総称である。 5倍を繰り返したり、1 + 1 + 1 + 1 + 1 から始めて答えを5つずつ加え合わせることによって得られる数である。いずれもごく基本的な数量操作であり、様々な場面で用いられる。 指数に負の整数を許すならば、5の冪乗（この場合、それらは自然数ではなく有理数である）の中には「5分の1」の概念も含まれてくる。実際、1 (50), 1/5 (5?1), 1/25 (5?2), 1/125 (5?3), 1/625 (5?4) … というようなものも、5の冪乗として表すことができる有理数である。 オンライン整数列大辞典の数列 A000351 50=1516=152587890625532=23283064365386962890625 1を5の累乗数で割って行くと、小数には、位取り記数法の基数の5分の1の数が、累乗数として現れる。 例えば、十進法の位取り（十進数）では、1 を5の累乗数で割っていくと、小数には2の累乗数が現れる。 1 ÷ 5 = 0.2 (21) 1 ÷ 25 = 0.04 (22) 1 ÷ 125 = 0.008 (23) 1 ÷ 625 = 0.0016 (24) 1 ÷ 3125 = 0.00032 (25) 1 ÷ 15625 = 0.000064 (26) 1 ÷ 78125 = 0.0000128 (27) 1 ÷ 390625 = 0.00000256 (28) 1 ÷ 1953125 = 0.000000512 (29) 1 ÷ 9765625 = 0.0000001024 (210) これらは 2 − n × 5 − n = 10 − n {\displaystyle 2^{-n}\times 5^{-n}=10^{-n}} より 5 − n = 2 n × 10 − n {\displaystyle 5^{-n}=2^{n}\times 10^{-n}} であることから導かれる。 1以外の5の累乗数を十進法で表したとき、一の位は 5 である。また、1, 5以外の5の累乗数を十進法で表したとき、十の位は 2 、一の位は 5 である。 5m（m ≧ n, n ≧ 2）の下 n 桁は次のようになる。 桁2345678910…n 01953125, …, 97265625, 98828125001953125, 009765625, …, 986328125, 9941406250009765625, 0048828125, …, 9931640625 9970703125 m ≧ n, n ≧ 2 のとき、5m の下 n 桁は 2n?2 通りある。 log10 5 = 0.6989700043… この値に n をかけて小数点以下を切り上げると 5n が十進数で何桁の整数かわかる。 例えば、0.6989700043… × 100 = 69.897… なので 5100 は70桁、0.6989700043… × 256 = 178.936… なので 5256 は179桁の整数となる。 5の累乗数の和は、 0, 1, 6, 31, 156, 781, 3906, 19531, 97656, 488281, 2441406, 12207031, 61035156, 305175781, 1525878906, 7629394531, 38146972656, 190734863281, 953674316406, 4768371582031, 23841857910156, 119209289550781, 596046447753906, 2980232238769531 …（オンライン整数列大辞典の数列 A003463 で、1から 5n（n ≧ 0）までの5の累乗数の和は .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}5n+1?1/4 に等しい。 これらの数の末尾に25をつけた数（100 × 5の累乗数の和 + 25）は、25以上の5の累乗数である。 十進法では、下n桁（n ≧ 1）が 5n の倍数であれば、その数は 5n の倍数である。 下n桁が 5n の倍数で、下 n+1 桁が 5n+1 の倍数でなければ、その数の約数で最大の5の累乗数は 5n である。 例 1853070540093840001956842537745897243375 下3桁（375）が 53 (= 125) の倍数で、下4桁（3375）が 54 (= 625) の倍数でないので、この数の約数で最大の5の累乗数は 53 である。 また、階乗 n! の末尾の 0 の数を m とすると、 n! の約数で最大の5の累乗数は 5m である。これは、10 = 2 × 5 で、5 が 2 よりも大きいからである。 例 50! = 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000 末尾の 0 の数が12個なので、50! の約数で最大の5の累乗数は 512 である。 階乗 n! の末尾の 0 の数、n! を割り切れる最大の5の累乗数は 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 18, 18, 18, 18, 18, 19…（オンライン整数列大辞典の数列 A027868 素数階乗では、1# = 1, 2# = 2, 3# = 6 の約数で最大の5の累乗数は 50 = 1 で、 5# = 30 以上の素数階乗はすべて、最大の5の累乗数の約数は 51 = 5 である。
概説
40乗までの5の累乗数（正の冪）
51=5517=762939453125533=116415321826934814453125
52=25518=3814697265625534=582076609134674072265625
53=125519=19073486328125535=2910383045673370361328125
54=625520=95367431640625536=14551915228366851806640625
55=3125521=476837158203125537=72759576141834259033203125
56=15625522=2384185791015625538=363797880709171295166015625
57=78125523=11920928955078125539=1818989403545856475830078125
58=390625524=59604644775390625540=9094947017729282379150390625
59=1953125525=298023223876953125
510=9765625526=1490116119384765625
511=48828125527=7450580596923828125
512=244140625528=37252902984619140625
513=1220703125529=186264514923095703125
514=6103515625530=931322574615478515625
515=30517578125531=4656612873077392578125
数量的な性質
251250625031250156250078125507812500390625,
62531251562507812503906255390625
56252812514062507031255703125
81254062520312510156256015625
5312526562513281256328125
6562532812516406256640625
7812539062519531256953125
9062545312522656257265625
51562525781257578125
57812528906257890625
64062532031258203125
70312535156258515625
76562538281258828125
82812541406259140625
89062544531259453125
95312547656259765625
通り1248163264128256…2n?2
常用対数との関係
5の累乗和
その他の性質
関連項目
冪乗
2の冪
10の冪
平方数
立方数
二重平方数
等比数列
等差数列
五進法
表
話
編
歴
巨大数
数の例
無量大数
グーゴル
シャノン数（英語版）
不可説不可説転
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SSCG(3)（英語版）
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