「囚人のジレンマ」とは異なります。

3囚人問題（さんしゅうじんもんだい、英: Three Prisoners problem）は確率論の問題で、マーティン・ガードナーによって1959年に紹介された[1][2]。「ベルトランの箱のパラドクス（英語版）」を下敷きにしていると考えられている。
概要

ある監獄にA、B、Cという3人の囚人がいて、それぞれ独房に入れられている。罪状はいずれも似たりよったりで、近々3人まとめて処刑される予定になっている。ところが恩赦が出て3人のうちランダムに選ばれた1人だけ助かることになったという。誰が恩赦になるかは明かされておらず、それぞれの囚人が「私は助かるのか?」と聞いても看守は答えない。したがって囚人Aが恩赦になる確率はこの時点では1/3であると考えられる。

囚人Aは一計を案じ、看守に向かってこう頼んだ。「BとCのどちらが処刑されるかだけでも教えてくれないか?」すると看守は「Bは処刑される」と教えてくれた。

それを聞いた囚人Aはひそかに喜んだ。Bが死刑になる事は確定した以上、恩赦になるのはAかCのいずれか一方であるはずであり、したがってAが恩赦になる確率は1/2に上昇したからである。

果たして囚人Aが喜んだのは正しいか?
解法

結論を述べるためにまず記号を定義し、簡単な考察をする。「Aが恩赦になる」、「Bが恩赦になる」、「Cが恩赦になる」という事象を略記してそれぞれA、B、Cと書き、「看守が「Bは死刑になる」と答える」という事象をbとする。

看守はA自身が死刑になるか否かを答えないのであるから、恩赦になるのがBの場合、看守は必ず「Cは死刑になる」と答える。同様の理由により、恩赦になるのがCの場合、看守は必ず「Bは死刑になる」と答える。すなわち、 Pr [ b ∣ B ] = 0 ,       Pr [ b ∣ C ] = 1 {\displaystyle \Pr[b\mid B]=0,~~~\Pr[b\mid C]=1}    …�@

である。

しかし恩赦を受けるのがA自身であるケースでは、看守は「Bは死刑になる」という回答と「Cは死刑になる」という回答のいずれを答えるか任意に選ぶ事ができる。すなわち、 Pr [ b ∣ A ] {\displaystyle \Pr[b\mid A]}

がいくつになるのかは3囚人問題のセッティングのみからは決まらず、看守の性格や思考等に依存して決まる。従って看守の答えを聞いて囚人Aが喜んだのが正しいか否かは、この Pr [ b ∣ A ] {\displaystyle \Pr[b\mid A]} がどのような値になるのかに依存して異なる[3]。

 これをみるために「Bは死刑になる」と看守から聞いた後Aが恩赦になる事後確率 Pr [ A ∣ b ] {\displaystyle \Pr[A\mid b]} を求める。恩赦がランダムに決まるという仮定より Pr [ A ] = Pr [ B ] = Pr [ C ] = 1 3 {\displaystyle \Pr[A]=\Pr[B]=\Pr[C]={1 \over 3}}     …�A

であるので、ベイズの定理より、 Pr [ A ∣ b ] = Pr [ b ∣ A ] Pr [ A ] Pr [ b ] = Pr [ b ∣ A ] Pr [ A ] Pr [ b ∣ A ] Pr [ A ] + Pr [ b ∣ B ] Pr [ B ] + Pr [ b ∣ C ] Pr [ C ] = ( 2 ) Pr [ b ∣ A ] Pr [ b ∣ A ] + Pr [ b ∣ B ] + Pr [ b ∣ C ] = ( 1 ) Pr [ b ∣ A ] Pr [ b ∣ A ] + 1 {\displaystyle \Pr[A\mid b]={\Pr[b\mid A]\Pr[A] \over \Pr[b]}={\Pr[b\mid A]\Pr[A] \over \Pr[b\mid A]\Pr[A]+\Pr[b\mid B]\Pr[B]+\Pr[b\mid C]\Pr[C]}{\underset {(2)}{=}}{\Pr[b\mid A] \over \Pr[b\mid A]+\Pr[b\mid B]+\Pr[b\mid C]}{\underset {(1)}{=}}{\Pr[b\mid A] \over \Pr[b\mid A]+1}}  

である[3]。具体的な値をいくつか代入してみると、 Pr [ A ∣ b ] = { 1 2 if  Pr [ b ∣ A ] = 1 1 3 if  Pr [ b ∣ A ] = 1 2 0 if  Pr [ b ∣ A ] = 0. {\displaystyle \Pr[A\mid b]={\begin{cases}{1 \over 2}&{\text{if }}\Pr[b\mid A]=1\\{1 \over 3}&{\text{if }}\Pr[b\mid A]={1 \over 2}\\0&{\text{if }}\Pr[b\mid A]=0.\end{cases}}}  

したがって最初に述べたように、「Bは死刑になる」と看守から聞いた後Aが恩赦になる事後確率 Pr [ A ∣ b ] {\displaystyle \Pr[A\mid b]} は、Aが恩赦されるケースで看守が「Bが死刑となる」と答える確率 Pr [ b ∣ A ] {\displaystyle \Pr[b\mid A]} に依存して値が変わる。

もしAが確率 Pr [ b ∣ A ] {\displaystyle \Pr[b\mid A]} に関して何ら情報を持たないなら、 Pr [ b ∣ A ] = 1 2 {\displaystyle \Pr[b\mid A]={1 \over 2}} と仮定するのは自然である(最大エントロピー原理)[3]。この場合には、看守の返答後にAが恩赦になる確率 Pr [ A ∣ b ] {\displaystyle \Pr[A\mid b]} は1/3のままである。すなわち「恩赦の確率が1/2にあがった」という囚人Aが喜んだのは間違っている事になる。 

しかしAが Pr [ b ∣ A ] {\displaystyle \Pr[b\mid A]} に関する何らかの情報（例えば「看守はBを嫌っている」という情報）を持っている場合は、必ずしも Pr [ b ∣ A ] = 1 2 {\displaystyle \Pr[b\mid A]={1 \over 2}} とするのは自然ではない[3]。

仮に Pr [ b ∣ A ] = 1 {\displaystyle \Pr[b\mid A]=1} であれば、 Pr [ A ∣ b ] = 1 2 {\displaystyle \Pr[A\mid b]={1 \over 2}} となる為、囚人Aが喜んだのは正しい事になる。 一方 Pr [ b ∣ A ] = 0 {\displaystyle \Pr[b\mid A]=0} であれば Pr [ A ∣ b ] = 0 {\displaystyle \Pr[A\mid b]=0} より、看守の返答を聞いたことによりAが恩赦になる確率は0に下がってしまう。
恩赦が等確率でない場合

上ではA、B、Cが恩赦を受ける確率はいずれも1/3である事を仮定し、 Pr [ b ∣ A ] = 1 2 {\displaystyle \Pr[b\mid A]={1 \over 2}} なら囚人が喜んだのは間違っている事を見た。

しかし例えば、恩赦になる確率だけをそれぞれA＝1/4、B＝1/4、C＝1/2に変えると、（ Pr [ b ∣ A ] = 1 2 {\displaystyle \Pr[b\mid A]={1 \over 2}} であっても）看守が「Bは死刑になる」と答えることでAの恩赦確率は1/5とかえって低下してしまう[4][5]。
心理学の題材として

直感的・主観的に捉えて予想した確率と本当の確率[注釈 1]が一致しないのはなぜか、さらに、解答を説明されても即座に理解できなかったり、理解したつもりでも納得できないのはなぜか、という研究が認知心理学の研究分野で行われた。

看守の返答を聞いた後Aが恩赦になる確率のアンケートを行ったある研究[注釈 2]では、回答者の76％が1/2、14％が1/3と解答している[5]。しかし、確率は統計に基づくことを説明するヒントを載せたところ、この比率は逆転した[5]。
脚注[脚注の使い方]
注釈^ 計算による正しい解。
^ 対象：日本の文系大学生142人。

出典^ Gardner, Martin (October 1959). “Mathematical Games: Problems involving questions of probability and ambiguity”. Scientific American 201 (4): 174-182. doi:10.1038/scientificamerican1059-174.