3つの立方数の和（3つのりっぽうすうのわ、Sums of three cubes）は整数の立方数3つを合計したものである。 x , y , z ∈ Z {\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Z} } x 3 + y 3 + z 3 = n {\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n} n ≢ ± 4 ( mod 9 ) {\displaystyle n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}}

任意のnに対して、条件を満たす解 x , y , z {\displaystyle x,y,z} の組を求める問題は、1950年代にルイス・モーデルによって考え出された[1]。いくつかのnに対する解の探索には長い時間がかかっていたが[2]、MITなどの研究グループにより短期間で求める手法が見出され、あるnに対する解となる組は無限に存在するはずだと推測されている[3]。@media screen{.mw-parser-output .fix-domain{border-bottom:dashed 1px}}なお、nの値について、9を法として4, 5 に合同な値を除外する条件が付けられているのは、そのようなnが存在し得ないからである。このことは、 全ての立方数は9を法として0, 1, 8 のいずれかに合同となることより、簡単に確認できる。同様に、4つの立方数の和と問題を拡張した場合は、この除外条件は不要となる。[要出典]
小さなn.mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px solid #fc3}.mw-parser-output .ambox-move{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output .ambox-protection{border-left:10px solid #a2a9b1}.mw-parser-output .ambox .mbox-text{border:none;padding:0.25em 0.5em;width:100%;font-size:90%}.mw-parser-output .ambox .mbox-image{border:none;padding:2px 0 2px 0.5em;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-imageright{border:none;padding:2px 0.5em 2px 0;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-empty-cell{border:none;padding:0;width:1px}.mw-parser-output .ambox .mbox-image-div{width:52px}html.client-js body.skin-minerva .mw-parser-output .mbox-text-span{margin-left:23px!important}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .ambox{margin:0 10%}}

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nが0 a 3 + ( − a ) 3 + 0 3 = 0 {\displaystyle a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0}

nが1 ( 9 b 4 ) 3 + ( 3 b − 9 b 4 ) 3 + ( 1 − 9 b 3 ) 3 = 1 {\displaystyle (9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1}

nが2 ( 1 + 6 c 3 ) 3 + ( 1 − 6 c 3 ) 3 + ( − 6 c 2 ) 3 = 2 {\displaystyle (1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2}
コンピュータによる探索

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n=0?74について[4][5][6]
n=3について[7][3]

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