2の冪（にのべき、（英: power of two）は、2 を底とし整数の指数を持つ冪である。2の冪は、指数を n として一般に、2n の形で表される（例えば n = 0, 1, 2, 3, … に対してそれぞれ 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, …）。
概説

1に2倍のみを繰り返すことによって得られる数であり、ごく基本的な数量操作で得られる数であることから、様々な場面で用いられる。

指数に負の整数を許すならば、2の冪乗（この場合、それらは自然数ではなく有理数である）の中には「半分」の概念も含まれてくる。実際、1 (20), 1/2 (2?1), 1/4 (2?2), 1/8 (2?3), 1/16 (2?4) … というようなものも、2の冪乗として表すことができる有理数である。

トーナメント制のスポーツ大会で、試合の回戦が進むごとにチーム数が単純に半減していくように試合を組むとすれば、出場チーム数を2の累乗数にする必要がある。但し、実際にはシードや敗者復活などのルールを利用して試合を組むので、2の累乗数に近ければ支障が無い。
100乗までの2の冪（正の冪）

オンライン整数列大辞典の数列 A79

2012324,294,967,29626418,446,744,073,709,551,616
2122338,589,934,59226536,893,488,147,419,103,232
22423417,179,869,18426673,786,976,294,838,206,464
23823534,359,738,368267147,573,952,589,676,412,928
241623668,719,476,736268295,147,905,179,352,825,856
2532237137,438,953,472269590,295,810,358,705,651,712
2664238274,877,906,9442701,180,591,620,717,411,303,424
27128239549,755,813,8882712,361,183,241,434,822,606,848
282562401,099,511,627,7762724,722,366,482,869,645,213,696
295122412,199,023,255,5522739,444,732,965,739,290,427,392
2101,0242424,398,046,511,10427418,889,465,931,478,580,854,784
2112,0482438,796,093,022,20827537,778,931,862,957,161,709,568
2124,09624417,592,186,044,41627675,557,863,725,914,323,419,136
2138,19224535,184,372,088,832277151,115,727,451,828,646,838,272
21416,38424670,368,744,177,664278302,231,454,903,657,293,676,544
21532,768247140,737,488,355,328279604,462,909,807,314,587,353,088
21665,536248281,474,976,710,6562801,208,925,819,614,629,174,706,176
217131,072249562,949,953,421,3122812,417,851,639,229,258,349,412,352
218262,1442501,125,899,906,842,6242824,835,703,278,458,516,698,824,704
219524,2882512,251,799,813,685,2482839,671,406,556,917,033,397,649,408
2201,048,5762524,503,599,627,370,49628419,342,813,113,834,066,795,298,816
2212,097,1522539,007,199,254,740,99228538,685,626,227,668,133,590,597,632
2224,194,30425418,014,398,509,481,98428677,371,252,455,336,267,181,195,264
2238,388,60825536,028,797,018,963,968287154,742,504,910,672,534,362,390,528
22416,777,21625672,057,594,037,927,936288309,485,009,821,345,068,724,781,056
22533,554,432257144,115,188,075,855,872289618,970,019,642,690,137,449,562,112
22667,108,864258288,230,376,151,711,7442901,237,940,039,285,380,274,899,124,224
227134,217,728259576,460,752,303,423,4882912,475,880,078,570,760,549,798,248,448
228268,435,4562601,152,921,504,606,846,9762924,951,760,157,141,521,099,596,496,896
229536,870,9122612,305,843,009,213,693,9522939,903,520,314,283,042,199,192,993,792
2301,073,741,8242624,611,686,018,427,387,90429419,807,040,628,566,084,398,385,987,584
2312,147,483,6482639,223,372,036,854,775,80829539,614,081,257,132,168,796,771,975,168
29679,228,162,514,264,337,593,543,950,336
297158,456,325,028,528,675,187,087,900,672
298316,912,650,057,057,350,374,175,801,344
299633,825,300,114,114,700,748,351,602,688
21001,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376

大きな数の話

当初の増え方から見ると、とても想像できないような大きな数を導き出すことができる点から、古くから様々な話に登場する。

例えば、「新聞紙を26回2つ折りにすると、富士山より高くなる」という話がある。計算上は 226 = 67,108,864 であるから、厚さ0.1mmの紙を26回折り曲げると約6710mとなり、富士山の標高（約3776m）を超える。当然ながら、実際には8回ほど折り曲げたところで限界となるため、紙を何度も折り曲げるのは物理的に実行不可能であるが、「新聞紙を2等分に切り、それを重ねる」を繰り返すことはある程度可能である。

別の例に、「将棋盤問題（英語版）」というものがある。古代のインドのセーラムという王の家来、セッサ・イブン・ダヘルがチャトランガ（将棋やチェスの原型となったとされるゲーム）を発明した時、王はこれを喜び、望むだけの褒美を取らせる、と言った。この時の彼の希望は、「盤の最初の升目に一粒の小麦を置き、二升目には二粒、三升目には四粒と増やしていって、最後の升目の分だけを頂きたい」というものであった。この数は、2の63乗であるが、実際の小麦として計算すると、世界の小麦生産高の2500年分を越えるという。日本においては曽呂利新左衛門（初代）が豊臣秀吉から褒美を何にするか問われ、今日は米1粒、翌日には倍の2粒、その翌日には更に倍の4粒と、日ごとに倍の量の米を100日間もらう事を希望したという逸話がある。また、漫画『ドラえもん』に登場する「バイバイン」は、物体を5分ごとに2の累乗数に増やす架空の薬品で、作中では、栗饅頭に対し使われた。このバイバインに対する考察を山本弘が行っており、エッセイ集『宇宙はくりまんじゅうで滅びるか?』（2007年、河出書房新社、ISBN 978-4309018294）を上梓している。
コンピュータにおける2の冪

コンピュータの演算には二進法が使われる。そのため、コンピュータに絡む数値に2の累乗数（ただし、桁を十進数に直す）が見られる。例えば、1 キロバイトは 1024 バイト（=210 バイト）であり、家庭用ゲーム機のNINTENDO64やパソコン用CPUブランドのAthlon 64の「64」は、64 ビット（=26 ビット）に因んだ名称である。近年のパソコンやスマートフォンの普及によって、2の累乗数が家庭内にまで見かけられるようになった。

2進接頭辞も参照のこと。
数量的な性質

1を2の累乗数で割って行くと、小数には、位取り記数法の基数の半分の数が、累乗数として現れる。

例えば、十進法の位取り（十進数）では、1 を2の累乗数で割っていくと、小数には5の累乗数が現れる。(1 ÷ 2 = 0.5 (51) 、1 ÷ 4 = 0.25 (52) 、1 ÷ 8 = 0.125 (53)、1 ÷ 16 = 0.0625 (54)) これらは 2 − n × 5 − n = 10 − n {\displaystyle 2^{-n}\times 5^{-n}=10^{-n}}

より 2 − n = 5 n × 10 − n {\displaystyle 2^{-n}=5^{n}\times 10^{-n}}

であることから導かれる。

同じく、十二進数では6の累乗数が、二十進数では十の累乗数が現れる。(十二進数: 1 ÷ 2 = 0.6 (61) 、1 ÷ 4 = 0.30 (62)、1 ÷ 8 = 0.160 (63)、1 ÷ 14 = 0.0900 (64))

1以外の2の冪を十進法で表したとき、一の位は 2, 4, 6, 8 のいずれかである。また、1以外の2の冪 2n を二進法で表したとき、一番上の位は 1 であとに 0 が n 個続く数になる。
常用対数との関係詳細は「対数」、「常用対数」、および「位取り記数法」を参照

ある数 x の十進法における整数部の桁数は、x を真数とする常用対数 log10 x の小数部を切り上げた値から得られる。特に2の冪の場合、log xy = y⋅log x より log10 2 を計算することで得られる。具体的には、2の冪 2n の十進表示での桁数 m は以下より求まる： m = ⌈ log 10 ⁡ 2 n ⌉ = ⌈ n log 10 ⁡ 2 ⌉ = ⌈ n ⋅ 0.3010299956 … ⌉ . {\displaystyle {\begin{aligned}m&=\left\lceil \log _{10}2^{n}\right\rceil \\&=\left\lceil n\log _{10}2\right\rceil \\&=\left\lceil n\cdot 0.3010299956\dots \right\rceil \,.\end{aligned}}}

最後の log10 2 の近似計算で必要となる精度は冪指数 n に依存する。例えば n < 10 までなら log10 2 ≃ 0.3 は正しい結果を与えるが、n = 10 に対して m = 3 と誤った結果を与える（210 = 1024 であり正しい結果は m = 4）。

また、正の実数 x を 1 ≤ y < 2 を用い x = 2ny と置き換え、log y を近似することで、対数 log x の近似値が求められる： log ⁡ x = log ⁡ ( 2 n y ) = log ⁡ ( 2 n ) + log ⁡ y = n log ⁡ 2 + log ⁡ y . {\displaystyle {\begin{aligned}\log x&=\log(2^{n}y)\\&=\log(2^{n})+\log y\\&=n\log 2+\log y\,.\end{aligned}}}