0 ← 1 → 2
二進法1
三進法1
四進法1
五進法1
六進法1
七進法1
八進法1
十二進法1
十六進法1
二十進法1
二十四進法1
三十六進法1
ローマ数字I
漢数字一
大字壱
算木
位取り記数法一進法
「一」の筆順

1（一、壱、壹、弌、いち、ひと、ひとつ）は、最小の正の整数である。0 を自然数に含めない流儀では、最小の自然数とも言える。整数の通常の順序において、0 の次で 2 の前の整数である。1 はまた、実数を位取り記数法で記述するための数字の一つでもある。

「無」を意味する 0 に対して、1 は有・存在を示す最原初的な記号なので、物事を測る基準単位、つまり数や順序を数える際の初めである。

英語では、基数詞でone、序数詞では、1st、first となる。

ラテン語では unus（ウーヌス）で、接頭辞 uni- はこれに由来する。
数としての1

0 を除いて最小の自然数であり、自然数のうちで最小の奇数でもある。任意の数 x に 1 を掛けても x のままであるので、1 は乗法に関する単位元と呼ばれる。 x × 1 = 1 × x = x . {\displaystyle x\times 1=1\times x=x\,.}

この性質より、1 は 1 自身の階乗であり、 1 ! = 1 {\displaystyle 1!=1}

自乗であり、より一般の累乗でもある。 1 x = 1 . {\displaystyle 1^{x}=1\,.}

0 以外の任意の数の0乗は 1 である。 x 0 = 1 ( x ≠ 0 ) . {\displaystyle x^{0}=1\qquad (x\neq 0)\,.}

多くの場合、0の階乗や0の0乗は規約により 1 とされる。 0 0 := 1 , 0 ! := 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}0^{0}&:=1,\\0!&:=1\,.\end{aligned}}}
数字としての11 を表す数字の字形の変遷ヴェネツィアの時計台の24時間計。1の代わりに大文字の J を用いている。

西洋で今日 1 を表す数字の字形は垂直に立った棒であるが、単なる線と区別するために、しばしば上部にひげ飾りが付けられたり、下部に水平の短い線が付けられたりする。アラビア数字はインドに起源を持ち、古くは漢字の「一」のように水平の線で 1 を表していた。グプタ文字ではやや丸まった線になり、デーヴァナーガリーではときに左端に小さな黒丸が付された。これが90度回転して 9 に似た字形になり、グジャラート語やパンジャーブ語の文字で現在用いられる字形になった。ネパール語でも回転した字形を用いるが、黒丸が残っている[1]。この黒丸が上部のひげ飾りになった一方、下部の短い水平の線はローマ数字の I からきたものと考えられる。ドイツなどのいくつかのヨーロッパの国では、1 のひげ飾りを比較的長く書くため、他国での 7 の字形に近くなって誤解を生じやすい。そのような国では、7 を書くときに垂直の線に水平の線を入れて区別する。

現代のほとんどの欧文の書体において、1 は h と同じ高さであるが、古典的な書体の中には のように x と同じ高さであるものもある。古いタイプライタには 1 のキーが無いものがあり、代わりに似た字体である小文字の l （エル）を用いた。また、体積の単位のリットルの記号は、単位名称が人名由来ではないため本来は小文字の l となるが、数字の 1 と似ていて紛らわしいことから大文字の L とすることが推奨されている。

装飾の目的のため、1 の代わりに大文字の J を用いる例も見られる。
性質

1 はちょうど1個の正の整数で割り切れる唯一の正整数である（素数はちょうど2つの正の整数で割り切れ、合成数は3個以上の整数で割り切れ、0 はすべての整数で割り切れる。）

約数の和は1。

約数の和が奇数になる最小の数である。次は2。

最小の倍積完全数である。次は6。また約数の和が自分自身になる唯一の数である(1倍完全数)。

最小の高度合成数である。奇数で唯一の高度合成数である。次は2。

1 = 20 × (21 − 1)

2n−1 × (2n − 1) で完全数にならない最小の数である。次は120。(オンライン整数列大辞典の数列 A144858)


1 = σ(1) (ただし σ は約数関数)

N = σ(N) を満たす唯一の整数である。(ただしσは約数関数)



約数の和の平均が整数になる最小の数である。次は56。(オンライン整数列大辞典の数列 A047727)


実数、複素数における乗算の単位元である。

乗算と除算においては、1 を乗数や除数とする演算の積や商は、被乗数や被除数と同じ数になる。

累乗では、指数が 0 の場合、値は必ず 1 となる。

過去には、素数の定義として「1 と自分自身で割り切れる整数」を採用することにより、1 を素数と見なす数学者もいた。1 を素数と公言した最後の数学の専門家は、1899年のアンリ・ルベーグである。現代では、1 は素数でも合成数でもなく、−1 やガウス整数における i および −i などと同じく単数であるとされる。算術の基本定理によれば、単数の違いを違いと見なさなければ、素因数分解は一意である（例えば 2 = 21 = 13 × (−1)2 × 21 だが、この2つの分解は同じと見なす）。

位取り記数法の底に用いることができない。画線法は底 1 の記数法（一進法）と言われることがあるが、これは位取り記数法ではない。

関数 1x は常に 1 に等しく逆関数を持たないため、底 1 の対数は定義しない。

最小の自己同形数である。次は5。


あらゆる種類の図形数、例えば三角数、三角錐数、五角数、六角数、中心つき六角数の最初の数である。

次のn角数は n 、中心つきn角数、n角錐数は n + 1 、八面体数は6 、平方三角数は 36 である。詳しくは下記の2桁までの自然数を参照。

三角数が三角数になる約数の個数をもつ最小の数である。次は28。(オンライン整数列大辞典の数列 A116541)

三角数が三角数になる約数の個数をもつ数の中で前の数を上回る個数をもつ最小の数である。次は28。(オンライン整数列大辞典の数列 A076172)

三角数の数列において、1 から a までの和の初めて n 桁となる a の値とみたとき、次は4。(オンライン整数列大辞典の数列 A068092)


1 = 11 = 12 = 13 = 14 …

なんらかの累乗数の最初の数である。