など多数。
女人評論家

若いころから「女人鑑定家」やら「女人評論家」などと自称するほどのアイドルマニアの側面があり、ラジオではその手の女性がゲスト出演してくれる度に、小堺と共に浮かれてはリスナーたちに翌週の餌食にされるのがお約束であった。下ネタが御法度の欽ちゃんファミリーにおいて、関根だけは時折下ネタも話題にする。

女性の好みに関しては「熱しやすく冷めやすい」性格であり、一途ではない。リア・ディゾンは「もう人のものになっちゃった」と諦め、できちゃった結婚したことに対しても「自分に対するけじめがない」と苦言を呈していた。優香や本仮屋ユイカの大ファンで、「優香の子供になりたい」もしくは「優香の中から生まれてきたい」と妄想を膨らませている[21]。東海テレビの番組『スイッチ!』ではユイカの妹・本仮屋リイナアナウンサーとの3人旅が実現した[22]。
人物
お笑い

『森田一義アワー 笑っていいとも!』に男女合わせた全レギュラーの中で、司会のタモリを除いて歴代最長の29年間出演した（1985年4月から2014年3月の番組終了時まで）。

『ラジオ』や「舞台」では、裏関根と呼ばれる毒舌でマニアックな面も発揮している。テレビでは同業者を悪く言うことはまずないが、ラジオや舞台では遠慮が無い。

師匠筋にあたる萩本欽一からは、デビュー当初は「俺はお前は嫌い、お前なんかと仕事したくない」と厳しい対応をされ[23]、約7年もの間萩本に門前払いをされた[24]。関根は萩本の態度に落ち込むよりも「正直な人だな、俺の芸風が嫌いなんだな」と驚いたが、実際には「最初に俺が優しいと、お前らは『大丈夫だ、芸能界』と思ってしまう」と危惧した萩本が、関根や小堺一機に厳しく接したものであった[23]。萩本は『カックラキン大放送!!』での関根のカマキリ拳法を初めて観た際に「ちょっとやばいな、なるべく近寄りたくない」と感じ、その印象が払拭されるまでに時間がかかった、と回想している[注釈 9]。

萩本との対面が叶ってからは、初めて萩本宅に招かれた際に3時間ほど即興芝居などを徹底的に仕込まれたり[24]、普段から無茶振りをされたりなど、萩本との日常生活が全てお笑いの修行だったと振り返っている[25]。関根が『欽ちゃんのどこまでやるの!?』などの番組に出演するようになってからは、萩本は「100万円を持っていたらその札束を見せびらかしているような芸」という例えで関根のオーバーアクションをたしなめたことはあったが[26]、小堺と同様に番組のリハーサルにて演技指導をすることがなくなった。後に、関根が萩本にその理由を尋ねたところ、萩本は「僕がアドバイスしたら、君たちは萎縮するから」と返答し、「人間性まで見抜かれていた」と脱帽した[14]。

こうした経緯もあり、関根も基本的には後輩への厳しいダメ出しや苦言をせず、求められない限りは芸に対してアドバイスはしない[27]。一方で、「後輩たちの糧になるなら、いくらでも褒める」としている[28]。バラエティ番組を1日に4?5時間視聴してお笑いを研究しており、番組の感想を出演者に伝えて褒めることも多い。関根は「（子供のころから）芸人を尊敬しているし、ファンのままなので、頑張ってほしいと思って声をかける」と語っている[27]。

ただし、2019年11月2日放送の『FNS27時間テレビ』内の『さんまのお笑い向上委員会』にて、爆笑問題の太田光が鬼越トマホークのネタを遮り、フジテレビの社長まで倒すという暴走をした際には、CM中に関根が太田を「全部間違ってる」と叱り、関根をよく知る明石家さんまを「関根さんがここまで言うのは滅多にない」と言わしめた[29]。後に関根は『爆笑問題の日曜サンデー』にゲスト出演。関根が太田に「（太田の芸風として）1回目（のボケ）は正しいから、全部ではなく9割間違っていた」「俺もああいうこと（ネタの暴走）はあるし、カマキリ拳法のころは間違っていた」と語り、二人は和解した[30]。

時々弟子志望の若者が訪ねてくるが、「弟子になると芸ではなく弟子のプロになって終わってしまう」という理由で断り、「弟子はいらないけど後輩になってくれるのは大歓迎」と、自身が所属する浅井企画の主催オーディションやセミナーへ行くように勧めている。過去の弟子入り志願者には、パックンマックンのマックンがいる[31]。

温厚な人柄で知られているが、20代のころに「世界ふしぎ発見」に出演した際に、スタッフに中学の嫌な先輩がおり、そのスタッフの態度が気に入らず、番組のノリにもついていけなかったため、本番中ほとんどしゃべらず、スーパーひとしくんを番組スタッフの指示を無視して賭けて正解し優勝してしまったため、優勝賞品をもらえず、その後、「世界ふしぎ発見」に全く呼ばれなくなった[32]。

かつて傍若無人なテレビスタッフを見てきた経験から、共演者を立てて彼らが注目されるように心掛けている[27]。「パスが上手い」「共演した後輩が活かされる」という意味で「リオネル・メッシのような芸人」になることを目標にしている[33]。

コサキンのラジオ番組では、好き勝手な歌詞の替え歌を200曲以上披露しており、リスナーから好評を博した。また、他のタレントとユニットを組んで歌のCDを発売したこともあるが、「CDを出したのはレコード会社の人に上手く乗せられちゃった。若気の至りだった」と語っている。
趣味・嗜好

モノマネのレパートリーである千葉真一[13][34]、ジャイアント馬場、長嶋茂雄や、東方神起、『モンティ・パイソン』の熱狂的なファンである。千葉真一は千葉のデビュー作『新 七色仮面』から千葉の作品を全て観賞している。東方神起は楽曲のみならず彼らの人間性も高く評価している。メンバーのジュンスとジェジュン（現・JYJ）のモノマネを早くから習得したり、自らを6人目のメンバー「ツトン」と自称している。次第に番組などで共演する機会も増え、彼らの4作目のアルバム『The Secret Code』に同梱されているDVDでは、副音声にメンバーとのトークが収録されている。また、KARAのファンでもある[35]。

親友の小堺と同様、関根もかなりの映画マニアである。『関根勤のサブミッション映画館』をはじめ、数冊の映画関連本を著しており、2010年1月より、映画専門チャンネル・スター・チャンネルで『関根勤 映画の時間』というレギュラー番組を持っている。ブルース・リー主演の映画『燃えよドラゴン』を33回も劇場で観たが、あまりに見過ぎたため、劇中で悪の親玉・ハンの動かないはずの左手の義手が、世界各地から訪れた武道家たちを「ようこそ」と招き入れた際に動いていたという撮影上のミスにまで気付いてしまったほどである[36]。