関数の極限（かんすうのきょくげん）とは、ある関数に対して、その変数をある値に限りなく近づける操作、および極限操作によって定まる関数の値である。

極限操作は、記号 lim を用いて表される。例えば関数 f に対して変数 x を c へ近づける極限は以下のように表される：

lim x → c f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}
変数の収束に伴う関数の挙動f(c) ≠ L となる例

f(x) を実関数とし、c を実数とする。式 lim x → c f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}

または f ( x ) → L ( x → c ) {\displaystyle f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow c)}

は x の値を c に“十分に近づければ”f(x) の値を L に望む限りいくらでも近づけることができることを意味する。このとき「x を c に近づけたときの f(x) の極限は L である」という。これはイプシロン-デルタ論法により ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 ; ∀ x [ 0 < 。 x − c 。 < δ ⟹ 。 f ( x ) − L 。 < ε ] {\displaystyle {}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }\delta >0\;;\;{}^{\forall }x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}}

という形で厳密に定義される[注釈 1]。このとき極限 L は存在するならば、その値は関数 f(x) と点 c から一意に定まる[2]。一方この極限と関数 f(x) の x = c における値は無関係であり、f(c) ≠ L であることもある（右図）。

このことを理解するために次の例を挙げる。

x が 2 に近づくときの f ( x ) = x x 2 + 1 {\displaystyle f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}} の値を考える。この場合、f(x) は x が 2 のときに定義されており、値は 0.4 である。

f ( 1.9 ) = 0.4121 {\displaystyle f(1.9)=0.4121}

f ( 1.99 ) = 0.4012 {\displaystyle f(1.99)=0.4012}

f ( 1.999 ) = 0.4001 {\displaystyle f(1.999)=0.4001}

x が 2 に近づくにつれて f(x) が 0.4 に近づいていく。したがって、 lim x → 2 f ( x ) = 0.4 {\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=0.4} である。このように f ( c ) = lim x → c f ( x ) {\displaystyle f(c)=\lim _{x\to c}f(x)} であるとき、f(x) は x = c で連続であるという。しかし、このようなことが常に成り立つとは限らない。

例として、 g ( x ) = { x x 2 + 1 , if  x ≠ 2 0 , if  x = 2 {\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{if }}x\neq 2\\0,&{\mbox{if }}x=2\end{cases}}}