集合族の要素を特定の有限集合に制限した公理も研究されている[3]。即ち、
ACn : n元集合からなる任意の集合族は選択関数を持つ。
という形の公理である。
この種の公理について以下のようなことが知られている（すべてZF公理系を仮定）。
AC2 ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } AC4
n ≠ 1 , 2 , 4 {\displaystyle n\neq 1,2,4} ならば AC2 ⇏ {\displaystyle \nRightarrow } ACn
各 n ∈ N {\displaystyle n\in N} について ACn が成り立つ仮定の下でも、「有限集合からなる任意の集合族は選択関数を持つ」(Axiom of choice for finite sets)を証明できない。
ZFでは AC2 を証明できない。
AC2 ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } AC4を示すには、4元集合からなる集合族 F {\displaystyle F} に選択関数が存在することを示せば良い。まず { { a , b } : a , b ∈ ⋃ F , a ≠ b } {\displaystyle \{\{a,b\}:a,b\in \bigcup F,a\neq b\}} に AC2 を適用して、選択関数 g {\displaystyle g} を得る。次に g {\displaystyle g} を使って F {\displaystyle F} の各元 A {\displaystyle {\rm {A}}} から元をひとつ取りだすことを考える。集合 B {\displaystyle {\rm {B}}} を { { a , b } : a , b ∈ A , a ≠ b } {\displaystyle \{\{a,b\}:a,b\in {\rm {A}},a\neq b\}} とおくと、 B {\displaystyle {\rm {B}}} は 4 C 2 = {\displaystyle _{4}C_{2}=} 6元集合となる。 A {\displaystyle {\rm {A}}} の元 a {\displaystyle a} に対し、 q ( a ) = 。 { b ∈ B : g ( b ) = a } 。 {\displaystyle q(a)=|\{b\in B:g(b)=a\}|} という関数を定め、 q ( a ) {\displaystyle q(a)} の最小値を m {\displaystyle m} とおく。集合 M {\displaystyle {\rm {M}}} を { a ∈ A : q ( a ) = m } {\displaystyle \{a\in {\rm {A}}:q(a)=m\}} とおくと、 A {\displaystyle {\rm {A}}} は4元集合なので M {\displaystyle {\rm {M}}} の濃度は 1 , 2 , 3 , 4 {\displaystyle 1,2,3,4} のいずれかであるが、 。 M 。 = 4 {\displaystyle |{\rm {M|=4}}} と仮定すると、 4 q ( a ) = ∑ a ∈ A q ( a ) = 。 B 。 = 6 {\displaystyle 4q(a)=\sum _{a\in {\rm {A}}}q(a)=|{\rm {B|=6}}} となり矛盾する。 。 M 。 = 1 {\displaystyle |{\rm {M|=1}}} である場合は、 M {\displaystyle {\rm {M}}} の元を選択関数 f ( A ) {\displaystyle f({\rm {A}})} の値とすればよい。 。 M 。 = 2 {\displaystyle |M|=2} の場合は、 f ( A ) = g ( M ) {\displaystyle f({\rm {A}})=g({\rm {M}})} とする。最後に 。 M 。 = 3 {\displaystyle |M|=3} である場合は、 A ∖ M {\displaystyle {\rm {A}}\setminus {\rm {M}}} の元を f ( A ) {\displaystyle f({\rm {A}})} の値とすればよい。
脚注[脚注の使い方]
注釈^ 1926年にアドルフ・リンデンバウム