運動量表示と座標表示がフーリエ変換で結び付けられることから、運動量基底と座標基底の内積はフーリエ変換とその逆変換の積分核 ⟨ p 。 x ⟩ ∝ e − i p x / ℏ , ⟨ x 。 p ⟩ = ⟨ p 。 x ⟩ † ∝ e i p x / ℏ {\displaystyle \langle p|x\rangle \propto e^{-ipx/\hbar },\quad \langle x|p\rangle =\langle p|x\rangle ^{\dagger }\propto e^{ipx/\hbar }}
である。これは運動量演算子の作用が ⟨ x 。 p ^ 。 p ⟩ = − i ℏ ∂ ∂ x ⟨ x 。 p ⟩ = p ⟨ x 。 p ⟩ {\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|p\rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|p\rangle =p\langle x|p\rangle }
であることから導かれる。
無限小並進からの導出「ネーターの定理」も参照
並進演算子を T(ε) とする。ここで ε は並進の長さを表す。この並進演算子は次の恒等式を満足する。 T ( ε ) 。 ψ ⟩ = ∫ d x T ( ε ) 。 x ⟩ ⟨ x 。 ψ ⟩ {\displaystyle T(\varepsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\varepsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle }
これは次のようになる。 ∫ d x 。 x + ε ⟩ ⟨ x 。 ψ ⟩ = ∫ d x 。 x ⟩ ⟨ x − ε 。 ψ ⟩ = ∫ d x 。 x ⟩ ψ ( x − ε ) {\displaystyle \int dx|x+\varepsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\varepsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x-\varepsilon )}
関数ψが解析的（すなわち複素平面のある領域で微分可能）であると仮定すると、x についてテイラー級数に展開できる。 ψ ( x − ε ) = ψ ( x ) − ε d ψ d x {\displaystyle \psi (x-\varepsilon )=\psi (x)-\varepsilon {\frac {d\psi }{dx}}}
よって無限小量 ε について、 T ( ε ) = 1 − ε d d x = 1 − i ℏ ε ( − i ℏ d d x ) {\displaystyle T(\varepsilon )=1-\varepsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\varepsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)}
古典力学から分かるように、運動量は並進の生成子である。よって並進と運動量演算子との間の関係は、 T ( ε ) = 1 − i ℏ ε p ^ {\displaystyle T(\varepsilon )=1-{i \over \hbar }\varepsilon {\hat {p}}}
ここで、 p ^ = − i ℏ d d x . {\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}.}
脚注^ 『現代の量子力学』 p.14
^ 『現代の量子力学』 p.63
^ 小出『量子力学 I』 p.31
^ 猪木、川合『量子力学 I』 p.21
^ 坂井『場の量子論』 p.23
^ a b Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd Edition), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
^ Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2006, ISBN 0-07-145546-9
^ See ⇒Lecture notes 1 by Robert Littlejohn for a specific mathematical discussion and proof for the case of a single, uncharged, spin-zero particle. See ⇒Lecture notes 4 by Robert Littlejohn for the general case.
^ Bonneau,G., Faraut, J., Valent, G. (2001). “Self-adjoint extensions of operators and the teaching of quantum mechanics”. American Journal of Physics 69 (3): 322?331. arXiv:quant-ph/0103153. Bibcode: 2001AmJPh..69..322B. doi:10.1119/1.1328351.
参考文献
小出昭一郎『量子力学』 1巻（改訂版）、裳華房〈基礎物理学選書〉、1990年。.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 4-7853-2132-6。
猪木慶治、川合光『量子力学』 1巻、講談社、1994年。ISBN 4-06-153209-X。
J.J.サクライ『現代の量子力学』 上巻（第2版）、吉岡書店〈物理学叢書〉、2014年。ISBN 978-4-8427-0364-0。
坂井典佑『場の量子論』裳華房〈フィジックスライブラリー〉、2002年。ISBN 4-7853-2212-8。
関連項目
電磁場の数学的記述
並進演算子 (量子力学)
相対論的波動方程式
パウリ?ルバンスキ擬ベクトル
時間と空間
時間反転 T
パリティ P
時間発展 U(t)
並進 U(x)
ダランベール演算子 □
粒子
荷電共役 C
演算子のための演算子
昇降演算子
反対称演算子
量子論