微分法において連鎖律（れんさりつ、英: chain rule）あるいは合成関数の微分公式とは、複数の関数が合成された合成関数を微分するとき、その導関数がそれぞれの導関数の積で与えられるという関係式のこと。
概要

f {\displaystyle f} を開区間 I {\displaystyle I} 上の微分可能な関数、 g {\displaystyle g} を開区間 J {\displaystyle J} 上の微分可能な関数とするとき、 g {\displaystyle g} と f {\displaystyle f} が合成可能（つまり g ( J ) ⊂ I {\displaystyle g(J)\subset I} ）ならば合成関数 f ∘ g {\displaystyle f\circ g} も開区間 J {\displaystyle J} 上で微分可能であり、導関数は関係式 ( f ∘ g ) ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) {\displaystyle (f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)}

を満たす。これを連鎖律という[1]。ライプニッツの記法では d f d x = d f d g ⋅ d g d x {\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}}

となる。積分法においては、置換積分に対応する。
例
例1 { y = log ⁡ u u = cos ⁡ x {\displaystyle {\begin{cases}y=\log {u}\\u=\cos {x}\end{cases}}}

y = log ⁡ ( cos ⁡ x ) {\displaystyle y=\log({\cos {x}})} を x {\displaystyle x} について微分する。連鎖律より d y d x = d y d u ⋅ d u d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}}

である。導関数 dy/du および du/dx を求める： d y d u = 1 u {\displaystyle {\frac {dy}{du}}={\frac {1}{u}}\,} d u d x = − sin ⁡ x {\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-\sin {x}\,}

したがって d y d x = 1 u ⋅ ( − sin ⁡ x ) = − sin ⁡ x u = − sin ⁡ x cos ⁡ x = − tan ⁡ x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{u}}\cdot (-\sin {x})=-{\frac {\sin {x}}{u}}=-{\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}=-\tan {x}}

となる。
間違った証明

微分の定義より ( f ∘ g ) ′ ( a )   = lim x → a ( f ∘ g ) ( x ) − ( f ∘ g ) ( a ) x − a = lim x → a f ( g ( x ) ) − f ( g ( a ) ) x − a = lim x → a [ f ( g ( x ) ) − f ( g ( a ) ) g ( x ) − g ( a ) ⋅ g ( x ) − g ( a ) x − a ] = lim x → a f ( g ( x ) ) − f ( g ( a ) ) g ( x ) − g ( a ) ⋅ lim x → a g ( x ) − g ( a ) x − a = f ′ ( g ( a ) ) ⋅ g ′ ( a ) {\displaystyle {\begin{aligned}(f\circ g)'(a)~&=\lim _{x\rightarrow a}{(f\circ g)(x)-(f\circ g)(a) \over x-a}\\&=\lim _{x\rightarrow a}{f(g(x))-f(g(a)) \over x-a}\\&=\lim _{x\rightarrow a}\left[{f(g(x))-f(g(a)) \over g(x)-g(a)}\cdot {g(x)-g(a) \over x-a}\right]\\&=\lim _{x\rightarrow a}{f(g(x))-f(g(a)) \over g(x)-g(a)}\cdot \lim _{x\rightarrow a}{g(x)-g(a) \over x-a}\\&=f'(g(a))\cdot g'(a)\end{aligned}}}