が成り立つ。
位置と運動量の正準交換関係

位置座標と運動量に対応する行列 X, P は同時刻で、次の正準交換関係を満たす。 [ X , P ] = X P − P X = i ℏ I {\displaystyle [X,P]=XP-PX=i\hbar I}

ここで I は対角成分がすべて 1 で、それ以外の成分が 0 である単位行列である。

多自由度の系であれば、 [ X i , P j ] = i ℏ δ i j I {\displaystyle [X_{i},P_{j}]=i\hbar \delta _{ij}I} [ X i , X j ] = [ P i , P j ] = 0 {\displaystyle [X_{i},X_{j}]=[P_{i},P_{j}]=0\,}

である。
力学量の時間発展

力学量 A=A(X, P) の時間発展はハイゼンベルクの運動方程式 i ℏ d A d t = [ A , H ] = A H − H A {\displaystyle i\hbar {\frac {dA}{dt}}=[A,H]=AH-HA}

で記述される。ここで H は系のハミルトニアンに対応するエルミート行列である。
エネルギー固有値と時間発展

行列力学において、ハミルトニアンH(x, p ) はエネルギー固有値Enを成分とする対角行列 H ( x , p ) = ( E 0 0 0 … 0 E 1 0 … 0 0 E 2 … ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle H(x,p)={\begin{pmatrix}E_{0}&0&0&\ldots \\0&E_{1}&0&\ldots \\0&0&E_{2}&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}}}

として与えられる。これは、ハミルトニアン自身に対するハイゼンベルクの運動方程式が i ℏ d H d t = [ H , H ] = H H − H H = 0 {\displaystyle i\hbar {\frac {dH}{dt}}=[H,H]=HH-HH=0}

であり、対応するハミルトニアンの行列要素 H m n ( t ) = H m n e 2 π i ν m n t {\displaystyle H_{mn}(t)=H_{mn}e^{2\pi i\nu _{mn}t}} が i ℏ d d t H m n ( t ) = − 2 π ℏ ν m n H m n e 2 π i ν m n t = 0 {\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}H_{mn}(t)=-2\pi \hbar \nu _{mn}H_{mn}e^{2\pi i\nu _{mn}t}=0}

を満たし、 H m n ( t ) = E n δ m n {\displaystyle H_{mn}(t)=E_{n}\delta _{mn}} と表せることからの帰結である。ハミルトニアンが対角行列であること及び同様の考察から、物理量A の各行列要素 A m n ( t ) = A m n e 2 π i ν m n t {\displaystyle A_{mn}(t)=A_{mn}e^{2\pi i\nu _{mn}t}} における振動数νmnは、 ν m n = 2 π ( E m − E n ) ℏ {\displaystyle \nu _{mn}={\frac {2\pi (E_{m}-E_{n})}{\hbar }}}

の関係を満たすことがわかる。すなわち、系の時間発展はエネルギー固有値Enで定まる。
具体例

行列力学における具体例として、ボルンとヨルダンによって考察された1次元の調和振動子を考える。このとき、ハミルトニアンは H ( x , p ) = p 2 2 m + m ω 2 x 2 2 {\displaystyle H(x,p)={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}}

である。

正準交換関係を満たし、かつハミルトニアンを対角化する（時間に依らない）行列X、P として X = ℏ 2 m ω ( 0 1 0 0 … 1 0 2 0 … 0 2 0 3 … 0 0 3 0 … ⋮   ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle X={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}{\begin{pmatrix}0&1&0&0&\ldots \\1&0&{\sqrt {2}}&0&\ldots \\0&{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {3}}&\ldots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&\ldots \\\vdots &\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}}} P = ℏ m ω 2 ( 0 − 1 0 0 … 1 0 − 2 0 … 0 2 0 − 3 … 0 0 3 0 … ⋮   ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle P={\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}{\begin{pmatrix}0&-1&0&0&\ldots \\1&0&-{\sqrt {2}}&0&\ldots \\0&{\sqrt {2}}&0&-{\sqrt {3}}&\ldots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&\ldots \\\vdots &\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}}}

がとれる。このX、P はハミルトニアンを次のように対角化する。 H ( x ( t ) , p ( t ) ) = H ( X , P ) = ℏ ω 2 ( 1 0 0 0 … 0 3 0 0 … 0 0 5 0 … 0 0 0 7 … ⋮   ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ) {\displaystyle H(x(t),p(t))=H(X,P)={\frac {\hbar \omega }{2}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0&\ldots \\0&3&0&0&\ldots \\0&0&5&0&\ldots \\0&0&0&7&\ldots \\\vdots &\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}}}