全てのショックが、それが起こった時点から X に恒久的に影響を与えるため、任意の与えられた Xt の値は過去に起こったショック全てから影響を受ける。これは自己回帰方程式 ϕ ( B ) X t = ε t {\displaystyle \phi (B)X_{t}=\varepsilon _{t}\,}
（ここで定数項は変数が平均からの逸脱として測定されると仮定することで無視できる）が以下のように書き直せることからもまた分かる。 X t = 1 ϕ ( B ) ε t . {\displaystyle X_{t}={\frac {1}{\phi (B)}}\varepsilon _{t}\,.}
右辺における多項式の除算が可能なのであれば、 ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} に適用される後退オペレーターによる多項式は無限次元のオーダーを持つ。つまり、 ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} のラグ値が方程式の右辺において無限個現れる。 AR(p) 過程の自己相関関数は以下のように表すことが出来る[1]。 ρ ( τ ) = ∑ k = 1 p a k y k − 。 τ 。 , {\displaystyle \rho (\tau )=\sum _{k=1}^{p}a_{k}y_{k}^{-|\tau |},} ここで y k {\displaystyle y_{k}} は以下の多項式の根である。 ϕ ( B ) = 1 − ∑ k = 1 p φ k B k {\displaystyle \phi (B)=1-\sum _{k=1}^{p}\varphi _{k}B^{k}} ここで B は後退オペレーター
特性多項式
AR(p) 過程の自己相関関数は指数減衰する部分の和となっている。
全ての実数根は指数減衰する自己相関関数の構成要素として寄与する。
同様にすべての複素数の共役根の組は指数的に減衰する循環として寄与する。
AR(p) 過程のグラフAR(0); AR(1) with AR parameter 0.3; AR(1) with AR parameter 0.9; AR(2) with AR parameters 0.3 and 0.3; and AR(2) with AR parameters 0.9 and ?0.8
最も単純なARモデルは AR(0) であり、項の間に依存関係がない。誤差/イノベーション/ノイズ項のみが過程の出力に寄与し、ゆえに図で示されているように AR(0) はホワイトノイズに対応する。
φ {\displaystyle \varphi } の値が正である AR(1) 過程について、その過程の以前の項とノイズ項のみが出力に寄与する。もし φ {\displaystyle \varphi } が0に近ければ、その過程は依然としてホワイトノイズのように見える。しかし、 φ {\displaystyle \varphi } が1に近いならば、出力はノイズに比べて現在の項に大きな影響を受ける。結果として出力の"スムージング"もしくは和分が起こり、ローパスフィルタと似たものとなる。
AR(2) 過程について、以前の二つの項とノイズ項が出力に寄与する。 φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}} と φ 2 {\displaystyle \varphi _{2}} が共に正ならば、出力はノイズの高周波数領域が減衰するローパスフィルタに似通ったものとなる。もし φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}} が正である一方で φ 2 {\displaystyle \varphi _{2}} が負であれば、過程はその項の間で符号が変わりやすくなる。出力は循環的となる。これは方向におけるエッジ検出もしくは変化検出と結びつけることが出来る。 AR(1) 過程は以下で与えられる。 X t = c + φ X t − 1 + ε t {\displaystyle X_{t}=c+\varphi X_{t-1}+\varepsilon _{t}\,} ここで ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} は平均0のホワイトノイズ過程でありその分散は定数 σ ε 2 {\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}} である（注記: φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}} の下につく添え字をなくしている）。
例: AR(1) 過程
