時刻 t = t ′ {\displaystyle t=t'} で外力をゼロにした時を考えると， Δ A {\displaystyle \Delta A} は以下のように書ける． Δ A = ∫ − ∞ t ′ Φ A B ( t − t ″ ) F d t ″ {\displaystyle \Delta A=\int _{-\infty }^{t'}\Phi _{AB}(t-t'')Fdt''}

ここで変数変換 s = t − t ″ {\displaystyle s=t-t''} をし，緩和関数 Ψ A B ( t − t ′ ) = ∫ t − t ′ ∞ Φ A B ( s ) d s {\displaystyle \Psi _{AB}(t-t')=\int _{t-t'}^{\infty }\Phi _{AB}(s)ds} を導入すると Δ A = Ψ A B ( t − t ′ ) F {\displaystyle \Delta A=\Psi _{AB}(t-t')F}

となる．応答関数と緩和関数の関係は以下のように書くことも出来る． Φ A B ( t ) = − d Ψ A B ( t ) d t {\displaystyle \Phi _{AB}(t)=-{\frac {d\Psi _{AB}(t)}{dt}}}

また緩和関数はカノニカル相関を用いて次のように書ける． Ψ A B ( t − t ′ ) = β ⟨ B ^ ( t ′ ) ; A ^ ( t ) ⟩ e q {\displaystyle \Psi _{AB}(t-t')=\beta \langle {\hat {B}}(t');{\hat {A}}(t)\rangle _{\mathrm {eq} }}

これは高温近似 β → 0 {\displaystyle \beta \to 0} をすると，古典論での緩和関数とゆらぎの時間相関関数との関係が得られる． Ψ A B ( t − t ′ ) = β ⟨ B ( t ′ ) A ( t ) ⟩ e q {\displaystyle \Psi _{AB}(t-t')=\beta \langle B(t')A(t)\rangle _{\mathrm {eq} }}
揺動散逸定理詳細は「揺動散逸定理」を参照

緩和関数 Ψ B A ( t ) {\displaystyle \Psi _{BA}(t)} のスペクトル強度 f B A ( ω ) {\displaystyle f_{BA}(\omega )} は以下のような関係がある． Ψ B A ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f B A ( ω ) e i ω t d ω {\displaystyle \Psi _{BA}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f_{BA}(\omega )e^{i\omega t}d\omega }

また時間相関関数 C B A ( t ) {\displaystyle C_{BA}(t)} とパワースペクトル I B A ( ω ) {\displaystyle I_{BA}(\omega )} は以下の関係がある(ウィーナー＝ヒンチンの定理)． C B A ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ I B A ( ω ) e i ω t d ω {\displaystyle C_{BA}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }I_{BA}(\omega )e^{i\omega t}d\omega }

このパワースペクトルとスペクトル強度について以下の揺動散逸定理が成立する． I B A ( ω ) = E β ( ω ) f B A ( ω ) {\displaystyle I_{BA}(\omega )=E_{\beta }(\omega )f_{BA}(\omega )}

ただし E β ( ω ) {\displaystyle E_{\beta }(\omega )} は E β ( ω ) = ℏ ω 2 coth ⁡ ( β ℏ ω 2 ) {\displaystyle E_{\beta }(\omega )={\frac {\hbar \omega }{2}}\coth \left({\frac {\beta \hbar \omega }{2}}\right)}

で与えられる．この E β ( ω ) {\displaystyle E_{\beta }(\omega )} は調和振動子の平均エネルギーと一致する量であるが，揺動散逸定理は調和振動子やボース統計とは関係せず，対象化積と交換子の性質で決まっている．また β → 0 {\displaystyle \beta \to 0} の古典極限での揺動散逸定理は以下のように書ける． I B A ( ω ) = k t f B A ( ω ) {\displaystyle I_{BA}(\omega )=ktf_{BA}(\omega )}
相反定理詳細は「オンサーガーの相反定理」を参照

フラックス(単位時間に単位面積を通過していく移動量)を J i {\displaystyle J_{i}} ，駆動力(推進力)を X k {\displaystyle X_{k}} とおくと，輸送係数 L i k {\displaystyle L_{ik}} は以下のように書ける． J i = ∑ k L i k X k {\displaystyle J_{i}=\sum _{k}L_{ik}X_{k}}

輸送係数は，その添字に関して対称である． L i k = L k i {\displaystyle L_{ik}=L_{ki}}

これをオンサーガーの相反定理という
クラマース・クローニッヒの関係式詳細は「クラマース・クローニッヒの関係式」を参照

応答関数のフーリエ変換である複素感受率(複素アドミッタンス) ϕ ( ω ) = ϕ R ( ω ) + i ϕ I ( ω ) {\displaystyle \phi (\omega )=\phi _{R}(\omega )+i\phi _{I}(\omega )} の実部と虚部に対して、以下のクラマース・クローニッヒの関係式が成立する。

ϕ R ( ω ) = 1 π P ∫ − ∞ ∞ ϕ I ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ {\displaystyle \phi _{R}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi _{I}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '}
ϕ I ( ω ) = − 1 π P ∫ − ∞ ∞ ϕ R ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ {\displaystyle \phi _{I}(\omega )=-{\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi _{R}(\omega ')}{\omega '-\omega }}\,d\omega '}

ここで P {\displaystyle {\mathcal {P}}} はコーシーの主値をとることを表す。
ゆらぎの定理との関係

ゆらぎの定理を平衡近傍で適用すると古典系の線形応答理論が導かれる．
脚注[脚注の使い方]
注釈^ この手の議論は1953年に高橋秀俊がすでに指摘していた[21]。