最初の式は k ? n/2 なる場合に帰着するのに利用できるし、後の二つは ( n k ) = ( n − k + 1 ) 1 ⋅ ( n − k + 2 ) 2 ⋅ ⋯ ⋅ n k {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {(n-k+1)}{1}}\cdot {\frac {(n-k+2)}{2}}\cdot \dotsb \cdot {\frac {n}{k}}}

となることを示せる。
注釈^ 岩波数学辞典, 184. 順列・組合せ p. 526.
^ 伏見 1942, p. 5, 第I章　数学的補助手段 1節 組合わせの理論.
^ Louis Comtet, Analyse combinatoire elementaire, p. 2.
^ Herve Gianella, Romain Krust, Frank Taieb et Nicolas Tosel, Problemes choisis de mathematiques superieures, p. 120.
^ 黒木哲徳『なっとくする数学記号』講談社〈ブルーバックス〉、2021年、96,97頁。.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 9784065225509。 
^ この式は例えば任意の精度の算術ライブラリである GMP が用いている。 ⇒Binomial coefficients algorithm を参照。

参考文献

西岡康夫『数学チュートリアル やさしく語る 確率統計』オーム社、2013年。ISBN 9784274214073。 

伏見康治『 ⇒確率論及統計論』河出書房、1942年。ISBN 9784874720127。 ⇒http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204。 

日本数学会 編『数学辞典』（第4版）岩波書店、2007年。ISBN 9784000803090。 

関連項目

重複組合せ

順列

重複順列

置換 (数学)

重複置換

写像12相

組合せ数学（組合せ論）

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Combination". mathworld.wolfram.com (英語).

Weisstein, Eric W. "Choose". mathworld.wolfram.com (英語).

Weisstein, Eric W. "k-Subset". mathworld.wolfram.com (英語).