2つの集合 A と B は、まったく同じ要素を持っている場合、つまり、A のすべての要素が B の要素であり、B のすべての要素が A の要素である場合に等しいと定義される（外延性の公理を参照）。したがって、集合はその要素によって完全に定まる。たとえば、要素 2, 3, 5 の集合は、6未満のすべての素数の集合と同じである。集合 A と B が等しい場合、これは記号としては普通と同じく A = B と表される。
空集合

空集合は多くの場合 O で示され、場合によっては { } {\displaystyle \{\}} で表されるが、これは要素がまったくない集合である。集合はその要素によって完全に定まるため、空集合は1種類だけである（空集合の公理を参照）。空集合には要素がないが、他の集合の要素である可能性はある。したがって、前者には要素がなく、後者には1つの要素があるため、 O ≠ {O} である。数学においては、検討すべき唯一の集合を、空集合だけから構築することができる[11]。
集合の特定

集合を表す最も簡単な方法は、その要素を列挙する方法である（集合の外延的な定義として知られる）。したがって {1, 2} は要素が 1 と 2だけである集合を表す（対の公理を参照）。以下の点に注意せよ（これらは、前節での同一性の定義の結果である）。

要素の順序は区別しない。たとえば、{1, 2} = {2, 1} 。

要素の繰り返し（多重度）は区別しない。たとえば、 {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2}。

{ dogs } という表記ですべての犬の集合を示すように、表記が非形式的に濫用される可能性があるが、この場合はふつう、数学者は「単一の要素 "dogs" を含む集合」と解釈する。

この表記の極端な（しかし正しい）例は { } {\displaystyle \{\}} で、これは空集合を表す。

表記 {x : P(x)} や {x 。P(x)} は、条件 P を満たす対象すべてを含む集合を示すのに用いられる（集合の内延的な定義として知られる）。たとえば、 {x : x ∈ R}は実数の集合を、{x : x は金髪である} は金髪であるすべてのものの集合を表す。

この表記法は、集合の内包的表記法（英語版）（または、特に関数型プログラミングの文脈では「集合の内包」）と呼ばれる。集合の内包的記法のいくつかの変形は次のとおり。

{x ∈ A : P(x)} はすべての x がすでに A の要素であり、かつ x が条件 P を満たす集合を表す。たとえば、Z を整数の集合とすると、{x ∈ Z : x は偶数} はすべての偶数の整数の集合となる（分出公理を参照）。

{F(x) : x ∈ A} は集合 A の元を式 F に与えて得られる、すべての対象からなる集合を表す。例えば、 {2x : x ∈ Z} は上と同様に偶数の集合を表す（置換公理を参照）。

{F(x) : P(x)} は集合の内包的表記法として最も一般的な形式である。例えば、{ x の飼い主 : x は犬 } はすべての犬の飼い主の集合となる。

部分集合

2つの集合 A と B が与えられたとき、A のすべての要素が B の要素でもある場合、A は B の部分集合である。特に、各集合 B はそれ自体の部分集合である。B と等しくない B の部分集合は、真部分集合と呼ぶ。

A が B の部分集合である場合、B は A の上位集合（スーパーセット）である、A は B に含まれる、または B には A が含まれるとも言える。記号上は、 A ⊆ B が A が B の部分集合であることを意味し、B ⊇ A は B が A の上位集合であることを意味する。部分集合に記号 ⊂ と ⊃ を用いる著者もいれば、これらの記号を真部分集合にのみ用いる著者もいる。わかりやすくするために、記号 ? と ? を明示的に用いて、等しくないことを示すことができる。

例として、R を実数の集合、 Z を整数の集合、O を奇数の整数の集合、 P を現在または過去の米国大統領の集合とする。その場合、O は Z の部分集合であり、Z は R の部分集合であり、（したがって）O は R の部分集合であり、これらはいずれの場合も部分集合が真部分集合として解釈されうる。ただし、すべての集合がこのように比較できるわけではなく、例えば、 R が P の部分集合であったり、P が R の部分集合であったりするわけではない。

2つの集合 A と B が与えられたときに「A = B ならば、そしてその場合に限り A ⊆ BとB ⊆ A である」ということは、前述の集合の同一性の定義からすぐにわかる。実際、これがしばしば同一性の定義として与えられる。また、2つの集合が等しいことを証明するとすれば、普通は上記の2つの包含関係を示すことを目的としている。空集合はすべての集合の部分集合である（空集合のすべての要素が任意の集合 A の要素でもあるという命題は空虚な真である）。

特定の集合 A のすべての部分集合の集合は、 A のべき集合と呼ばれ、 2 A {\displaystyle 2^{A}} 、 P ( A ) {\displaystyle P(A)} 、あるいはスクリプトフォントを用いて P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} のように表される。集合 A に n 個の要素がある場合、 P ( A ) {\displaystyle P(A)} は 2 n {\displaystyle 2^{n}} 個の要素を持つ。
普遍集合と絶対補集合

特定の状況では、考えているすべての集合を、特定の普遍集合の部分集合と見なすことができる。たとえば、実数 R （および R の部分集合）の性質を調べる場合、 R は普遍集合と見なせる。真の普遍集合は標準集合論には含まれていないが（以下のパラドックスを参照）、一部の非標準集合論には含まれている。

普遍集合 U と U の部分集合 A が与えられると、A の補集合（U の部分集合）は次のように定義される。AC ：= { x ∈ U ： x ? A }

言い換えると、 AC （ "A-complement"。場合によっては単にA' （"A-prime"））は、 A の要素ではない U のすべての要素の集合である。したがって、前節で定義されているように R, Z, O を用いると、 Z が普遍集合である場合、OC は偶数の整数の集合であり、 R が普遍集合である場合、OC は偶数の整数であるか整数ではないすべての実数の集合となる。
和集合、交差、および相対補集合

2つの集合 A と B が与えられたとき、それらの和集合は、A または B 、あるいはその両方の要素であるすべての対象で構成される集合であり（和集合の公理を参照）、A ∪ B で表される。

A と B の共通部分は、 A と B の両方にあるすべての対象の集合であり、A ∩ B で表される。

最後に、 A に対する B の相対補集合（A と B の差集合とも呼ばれる）は、 A に属するが B には属さないすべての対象の集合であり、 A \ B や A ? B で表される。

記号的には、これらはそれぞれ以下のように表されるA ∪ B := {x : (x ∈ A) or(x ∈ B)}A ∩ B := {x : (x ∈ A) and(x ∈ B)} = {x ∈ A : x ∈ B } = {x ∈ B : x ∈ A}A \ B := {x : (x ∈ A) and not(x ∈ B)} = {x ∈ A : not( x ∈ B )}