数学において、積分判定法（せきぶんはんていほう、英: integral test for convergence）は非負項無限級数の収束性を判定する方法の一つである。コリン・マクローリンとオーギュスタン＝ルイ・コーシーによって発展させられたことから、マクローリン・コーシーの判定法の呼称でも知られている。
判定方法

整数 N と、非有界区間 [N, ∞) で定義された単調非増加な実数値関数 f を考える。このとき無限級数 ∑ n = N ∞ f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}

がある実数へ収束するための必要十分条件は、広義積分 ∫ N ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}

が有限値であることである。言い換えると、積分が発散するとき級数もまた発散する。
注意

広義積分が有限値のとき、次節の証明からは級数の収束値の上界・下界をも得ることができる。 ∫ N ∞ f ( x ) d x ≤ ∑ n = N ∞ f ( n ) ≤ f ( N ) + ∫ N ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx} (1)
証明

証明は基本的に比較判定法を用いる。区間[n ? 1, n) と [n, n + 1) のそれぞれで、f の積分値と項 f(n) を比較する。

f は単調非増加関数だから、 f ( x ) ≤ f ( n ) for all  x ∈ [ n , ∞ ) {\displaystyle f(x)\leq f(n)\quad {\text{for all }}x\in [n,\infty )}

であり、また f ( n ) ≤ f ( x ) for all  x ∈ [ N , n ] {\displaystyle f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n]}

である。よって任意の整数 n ? N に対し ∫ n n + 1 f ( x ) d x ≤ ∫ n n + 1 f ( n ) d x = f ( n ) {\displaystyle \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \int _{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n)} (2)

であり、任意の整数 n ? N + 1 に対し f ( n ) = ∫ n − 1 n f ( n ) d x ≤ ∫ n − 1 n f ( x ) d x {\displaystyle f(n)=\int _{n-1}^{n}f(n)\,dx\leq \int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} (3)

である。

N からある大きな整数 M までの全ての n にわたる和をとることで、(2) から ∫ N M + 1 f ( x ) d x = ∑ n = N M ∫ n n + 1 f ( x ) d x ⏟ ≤ f ( n ) ≤ ∑ n = N M f ( n ) {\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)}