積分判定法
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判定方法
整数
区間
単調非増加
実数
広義積分
注意
上界・下界
∫ N ∞ f ( x ) d x ≤ ∑ n = N ∞ f ( n ) ≤ f ( N ) + ∫ N ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx} (1)
証明
比較判定法
よって任意の整数 n ? N に対し ∫ n n + 1 f ( x ) d x ≤ ∫ n n + 1 f ( n ) d x = f ( n ) {\displaystyle \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \int _{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n)} (2)
であり、任意の整数 n ? N + 1 に対し f ( n ) = ∫ n − 1 n f ( n ) d x ≤ ∫ n − 1 n f ( x ) d x {\displaystyle f(n)=\int _{n-1}^{n}f(n)\,dx\leq \int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} (3)
2
3
1
適用例
自然対数
不定積分
微分積分学の基本定理
リーマンゼータ関数
1
発散と収束の境界線
具体的には、全ての自然数 k に対して級数 ∑ n = N k ∞ 1 n ln ( n ) ln 2 ( n ) ⋯ ln k − 1 ( n ) ln k ( n ) {\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)\ln _{k}(n)}}} (4)
[1]
一方、 ∑ n = N k ∞ 1 n ln ( n ) ln 2 ( n ) ⋯ ln k − 1 ( n ) ( ln k ( n ) ) 1 + ε {\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)(\ln _{k}(n))^{1+\varepsilon }}}} (5)
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
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