微分積分学における積の法則（せきのほうそく、英: product rule；ライプニッツ則）は、二つ（あるいはそれ以上）の函数の積の導函数を求めるのに用いる公式。
公式

この公式は、 ( f ⋅ g ) ′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ , {\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g',}

あるいはライプニッツの記法では d d x ( u ⋅ v ) = u ⋅ d v d x + v ⋅ d u d x {\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v)=u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}+v\cdot {\dfrac {du}{dx}}}

と書くことができる。

あるいは無限小（あるいは微分形式）の記法を用いて d ( u v ) = u d v + v d u {\displaystyle d(uv)=u\,dv+v\,du}

と書いてもよい。

三つの函数の積の導函数は d d x ( u ⋅ v ⋅ w ) = d u d x ⋅ v ⋅ w + u ⋅ d v d x ⋅ w + u ⋅ v ⋅ d w d x {\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}\cdot w+u\cdot v\cdot {\dfrac {dw}{dx}}}

である。
発見者について

積の法則の発見者はゴットフリート・ライプニッツであると言われる[1][注 1]。ライプニッツは無限小（微分）を用いてこれを示した。

その内容は、u(x), v(x) を x を変数とする二つの可微分函数とするとき、積 uv に対応する無限小は d ( u ⋅ v ) = ( u + d u ) ⋅ ( v + d v ) − u ⋅ v = u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v {\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\end{aligned}}}

で与えられるはずだが、項 du⋅dv は（du および dv に比べて）「無視できる」（高位の無限小）ことから、ライプニッツは d ( u ⋅ v ) = v ⋅ d u + u ⋅ d v {\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv}

であると結論付けた。実際、これが積の法則の微分形である。

両辺を無限小 dx で割るならば d d x ( u ⋅ v ) = v ⋅ d u d x + u ⋅ d v d x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}}

が得られ、これはまたラグランジュの記法によって ( u ⋅ v ) ′ = v ⋅ u ′ + u ⋅ v ′ {\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'}

と書くこともできる。
例

ƒ(x) = x2 sin(x) を微分したい場合、積の法則を用いて ƒ'(x) = 2x sin(x) + x2cos(x) が得られる（x2 の導函数は 2x で sin(x) の導函数は cos(x) であった）。

任意の定数は微分すると 0 になることから、積の法則の特別な場合として「定数倍の法則」：c が実定数で ƒ(x) が可微分函数のとき、定数倍 cƒ(x) もやはり微分可能で、その導函数は (cƒ)'(x) = c × ƒ′(x) で与えられる。が得られる。これと和の微分法則を合わせれば、函数を微分することが線型変換であることがわかる。

部分積分の公式は積の法則から導かれる。同様に（弱い意味での）商の法則も積の公式の帰結である（ここで「弱い意味で」というのは、商の微分可能性は保証せず、商が微分可能である場合に「限って」その導函数がどのような形になるかを述べるということ）。

厳密な証明
標準的な微分積分学の場合

積の法則の厳密な証明には、微分の定義と極限の基本性質を用いる。

積 h(x) = f(x)g(x) について、各因子 f, g は一点 x0 においてそれぞれ微分可能であるものとする（以降、本節を通して x0 は固定するものとする）。主張は、積 h が点 x0 において微分可能であること、およびその微分係数 h'(x0) が f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0) で与えられることの二点である。

差分 Δh := h(x0+Δx) - h(x0) を考える。x0 は固定しているといっても、Δh は Δx の値（これは十分に「小さい」ものと考える）に依存して変化することに注意せよ。

積 h が x0 において微分可能であるということは、極限 lim Δ x → 0 Δ h Δ x {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\Delta h \over \Delta x}}