確率密度関数 - 暇つぶしWikipedia

確率密度関数

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Z 。 d Z = 2 ∫ 0 ∞ 1 2 π e − 1 2 ( Y 2 + 1 ) Z 2 Z d Z = ∫ 0 ∞ 1 π e − ( Y 2 + 1 ) u d u u = 1 2 Z 2 = − 1 π ( Y 2 + 1 ) e − ( Y 2 + 1 ) u ] u = 0 ∞ = 1 π ( Y 2 + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}p(Y)&=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(YZ)\,p_{V}(Z)\,|Z|\,dZ\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}Y^{2}Z^{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}Z^{2}}|Z|\,dZ\\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}(Y^{2}+1)Z^{2}}|Z|\,dZ\\&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}(Y^{2}+1)Z^{2}}Z\,dZ\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}e^{-(Y^{2}+1)u}\,du&&u={\tfrac {1}{2}}Z^{2}\\&=\left.-{\frac {1}{\pi (Y^{2}+1)}}e^{-(Y^{2}+1)u}\right]_{u=0}^{\infty }\\&={\frac {1}{\pi (Y^{2}+1)}}\end{aligned}}}

が導かれる。これは、標準コーシー分布である。
関連項目

 統計量

 確率分布

 確率質量関数

 尤度関数

 正規分布

 t分布

 F分布

 カイ二乗分布

 ポアソン分布

位置の確率密度として

原子軌道（量子力学・波動関数）

行動圏

 出典 ^ Probability distribution function PlanetMath
^ ⇒Probability Function at Mathworld
^ Ord, J.K. (1972) Families of Frequency Distributions, Griffin. ISBN 0-85264-137-0 (for example, Table 5.1 and Example 5.4)

文献

 Pierre Simon de Laplace (1812). Analytical Theory of Probability
The first major treatise blending calculus with probability theory, originally in French: Theorie Analytique des Probabilites.

Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950). Foundations of the Theory of Probability
The modern measure-theoretic foundation of probability theory; the original German version (Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung) appeared in 1933.

Patrick Billingsley（英語版） (1979). Probability and Measure. New York, Toronto, London: John Wiley and Sons. .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 0-471-00710-2

David Stirzaker (2003). Elementary Probability. ISBN 0-521-42028-8
Chapters 7 to 9 are about continuous variables.
外部リンク

 『確率密度関数の意味と具体例』 - 高校数学の美しい物語

 Ushakov, N.G. (2001), “Density of a probability distribution”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Density_of_a_probability_distribution

Weisstein, Eric W. "確率密度関数". mathworld.wolfram.com (英語).

表

話

編

歴
 確率論
 確率の歴史

 アンドレイ・コルモゴロフ

 トーマス・ベイズ

 アンドレイ・マルコフ

 ジョゼフ・L・ドゥーブ

 伊藤清

確率の定義

客観確率

統計的確率

古典的確率

公理的確率

主観確率

 ベイズ確率

確率の拡張

外確率

 負の確率

基礎概念

モデル

試行

 結果

 事象

 標本空間

 確率測度

 確率空間

 確率変数

 確率変数の収束

 確率分布

 離散確率分布

 連続確率分布

 同時分布

 周辺分布

 条件付き確率分布

 独立同分布

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