2つの確率変数 ( X , Y ) {\displaystyle (X,Y)} が2変量正規分布に従う場合、条件付き平均 E ( X ∣ Y ) {\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)} は Y {\displaystyle Y} ,の線形関数である。 X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} 間の相関係数 ρ X , Y {\displaystyle \rho _{X,Y}} は、周辺平均および X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} の分散とともに、この線形関係を決定している。 E ( Y ∣ X ) = E ( Y ) + ρ X , Y ⋅ σ Y X − E ( X ) σ X , {\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid X)=\operatorname {E} (Y)+\rho _{X,Y}\cdot \sigma _{Y}{\frac {X-\operatorname {E} (X)}{\sigma _{X}}},}
ここで E ( X ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)} と E ( Y ) {\displaystyle \operatorname {E} (Y)} はそれぞれ X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} の期待値で、 σ X {\displaystyle \sigma _{X}} と σ Y {\displaystyle \sigma _{Y}} はそれぞれ X {\displaystyle X} と Y {\displaystyle Y} の標準偏差である。
経験的相関 r {\displaystyle r} は、相関係数 ρ {\displaystyle \rho } の推定量である。 ρ {\displaystyle \rho } の分布推定量は、以下の式にて求められる。 π ( ρ 。 r ) = Γ ( ν + 1 ) 2 π Γ ( ν + 1 2 ) ( 1 − r 2 ) ν − 1 2 ⋅ ( 1 − ρ 2 ) ν − 2 2 ⋅ ( 1 − r ρ ) 1 − 2 ν 2 F ( 3 2 , − 1 2 ; ν + 1 2 ; 1 + r ρ 2 ) {\displaystyle \pi (\rho |r)={\frac {\Gamma (\nu +1)}{{\sqrt {2\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}(1-r^{2})^{\frac {\nu -1}{2}}\cdot (1-\rho ^{2})^{\frac {\nu -2}{2}}\cdot (1-r\rho )^{\frac {1-2\nu }{2}}F\!\left({\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}};\nu +{\frac {1}{2}};{\frac {1+r\rho }{2}}\right)}
ここで F {\displaystyle F} はガウスの超幾何関数であり ν = N − 1 > 1 {\displaystyle \nu =N-1>1} となる。この密度がベイズの事後密度であり、正確な最適信頼分布密度でもある[29][30]。 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} が確率変数の場合、標準誤差は次の相関と関連性がある。 S E r = 1 − r 2 ( n − 2 ) {\displaystyle SE_{r}={\frac {1-r^{2}}{\sqrt {(n-2)}}}} ここで r {\displaystyle r} は相関、 n {\displaystyle n} は標本数である[31][32]。
標準誤差
関連項目
自己相関
カノニカル相関
決定係数
共和分
相関関数
相関係数
共分散
相互相関関数
錯誤相関
擬似相関
脚注[脚注の使い方]
注釈^ ピアソン相関係数は線形相関（比例のような関係性）のみに対応しており、正の符号は一方が増加すると他方も増えていく「正の相関」を、負の符号は一方が増加すると他方が減っていく「負の相関」を表す[7]。
^ a b 確率論では、各々の変数が独立していない場合に「従属(dependence)」という用語を使う[9]。この従属は「独立でなく何らかの関係性がある」という意味で、相関と同義である。
^ 選挙で当選した人は〇、落ちた人は×、のように二つの値だけ（通常0か1）を取る特別な変数のこと。計量経済学などでは「ダミー変数」とも呼ばれる[15]。
^ 近年の研究では、大きな精神的ストレスを受けると自律神経のバランスが崩れて免疫力が弱まるため、風邪などの感染症に罹るリスクが高まることが判明している[26]。大きなストレスは気分をかき乱すと共に感染症リスクにも影響を与える、両者に関連した根底の別要因（潜伏変数）だと言える。こうした潜伏要因によって、さも因果関係があるように推測されることを「擬似相関」という。
出典^ コトバンク「相関
^ 遠田祐人「相関係数とは何か。その求め方・公式・使い方と3つの注意点」2020年2月9日
^ Croxton, Frederick Emory; Cowden, Dudley Johnstone; Klein, Sidney (1968) Applied General Statistics, Pitman. .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 9780273403159 (page 625)
^ Dietrich, Cornelius Frank (1991) Uncertainty, Calibration and Probability: The Statistics of Scientific and Industrial Measurement 2nd Edition, A. Higler. ISBN 9780750300605 (Page 331)
^ Aitken, Alexander Craig (1957) Statistical Mathematics 8th Edition. Oliver & Boyd. ISBN 9780050013007 (Page 95)
^ a b Rodgers, J. L.; Nicewander, W. A. (1988). “Thirteen ways to look at the correlation coefficient”. The American Statistician 42 (1): 59-66. doi:10.1080/00031305.1988.10475524. JSTOR 2685263.