球面座標系において、天頂角を θ, z-軸周りの回転角を ? とすれば、発散は div ⁡ F = ∇ ⋅ F = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 F r ) + 1 r sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ F θ ) + 1 r sin ⁡ θ ∂ F ϕ ∂ ϕ {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {F}}=\nabla \cdot {\boldsymbol {F}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\bigl (}r^{2}F_{r}{\bigr )}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,F_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}}

と書ける[3]。
分解定理詳細は「ヘルムホルツ分解」を参照

R3 内の少なくとも二回連続的微分可能な定常流束 v(r) が十分遠く (r → ∞) で消えているならば、v(r) は無回転成分 (irrotational part) E(r) と無発散成分 (source-free part) B(r) に分解される。さらに、 これらの成分は「湧出密度」（上述）と「循環密度」（回転の項を参照）から明示的に決定される。即ち、無回転成分は E = − ∇ Φ ( r ) , Φ ( r ) = ∫ R 3 d 3 r ′ div ⁡ v ( r ′ ) 4 π 。 r − r ′ 。 {\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-\nabla \Phi ({\boldsymbol {r}}),\quad \Phi ({\boldsymbol {r}})=\int _{\mathbb {R} ^{3}}d^{3}{\boldsymbol {r}}'\,{\frac {\operatorname {div} {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}}')}{4\pi |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}}

で与えられ、無発散成分 B もスカラーポテンシャル Φ(r) をベクトルポテンシャル A(r) で、−∇Φ を ∇ × A で、湧出密度 div v を循環密度 ∇ × v でそれぞれ置き換えた、 B = ∇ × A ( r ) , A ( r ) = ∫ R 3 d 3 r ′ ∇ × v ( r ′ ) 4 π 。 r − r ′ 。 {\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {r}}),\quad {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {r}})=\int _{\mathbb {R} ^{3}}d^{3}{\boldsymbol {r}}'\,{\frac {\nabla \times {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}}')}{4\pi |{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}}

で与えられる。

この「分解定理」は電気力学でも定常流に関する研究の副産物として得られた事実であり、三次元以外でも通用するもっと一般のヘルムホルツ分解の特別の場合である。
性質詳細は「ベクトル解析における公式一覧（英語版）」を参照

以下の性質は、通常の微分積分学における常微分の微分法則から導かれる。最も重要なことは、発散作用素が線型作用素となること、つまり、 div ⁡ ( a F + b G ) = a div ⁡ ( F ) + b div ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {div} (a{\boldsymbol {F}}+b{\boldsymbol {G}})=a\operatorname {div} ({\boldsymbol {F}})+b\operatorname {div} ({\boldsymbol {G}})}

が任意のベクトル場 F, G と任意の実数 a, b に対して成立することである。

積の微分法則は以下の形で成立する。φ はスカラー場、F はベクトル場として、 div ⁡ ( φ F ) = ( grad ⁡ φ ) ⋅ F + φ ( div ⁡ F ) {\displaystyle \operatorname {div} (\varphi {\boldsymbol {F}})=(\operatorname {grad} \varphi )\cdot {\boldsymbol {F}}+\varphi (\operatorname {div} {\boldsymbol {F}})}

∇ を用いた記法であれば、 ∇ ⋅ ( φ F ) = ( ∇ φ ) ⋅ F + φ ( ∇ ⋅ F ) {\displaystyle \nabla \cdot (\varphi {\boldsymbol {F}})=(\nabla \varphi )\cdot {\boldsymbol {F}}+\varphi (\nabla \cdot {\boldsymbol {F}})}

が成り立つ。二つの三次元ベクトル場 F, G の交叉積に対するもう一つの積の法則は、回転 curl を含む以下の形 div ⁡ ( F × G ) = ( curl ⁡ F ) ⋅ G − F ⋅ ( curl ⁡ G ) {\displaystyle \operatorname {div} ({\boldsymbol {F}}\times {\boldsymbol {G}})=(\operatorname {curl} {\boldsymbol {F}})\cdot {\boldsymbol {G}}-{\boldsymbol {F}}\cdot (\operatorname {curl} {\boldsymbol {G}})}

∇ を用いた記法であれば、

∇ ⋅ ( F × G ) = ( ∇ × F ) ⋅ G − F ⋅ ( ∇ × G ) {\displaystyle \nabla \cdot ({\boldsymbol {F}}\times {\boldsymbol {G}})=(\nabla \times {\boldsymbol {F}})\cdot {\boldsymbol {G}}-{\boldsymbol {F}}\cdot (\nabla \times {\boldsymbol {G}})}