M を左 R-加群とすると、R の元 r の作用が x を rx へ（右加群の場合は xr へ）うつす写像として定まり、その写像はアーベル群 (M, +) 上の群の自己準同型となる必要がある。EndZ(M) で表される、M の群自己準同型の全体は、加法と合成に関して環となるが、R の元 r にその作用を対応させることにより、R から EndZ(M) への環準同型が定義される。

このような環準同型 R → EndZ(M) は M における R の表現 (representation) と呼ばれる。左 R-加群を定義するもう一つの同値な方法は、アーベル群 M にその上の環 R の表現を考えることである。

表現が忠実 (faithful) であるとは、写像 R → EndZ(M) が単射となることをいう。加群の言葉で言えば、これは R の元 r が M のすべての元 x に対して rx = 0 を満たすならば r = 0 と成ることを言っている。任意のアーベル群は有理整数環または適当な剰余類環 Z/nZ 上の忠実加群である。
一般化

任意の環 R をただひとつの対象から成る前加法圏と看做すことができる。この観点で言えば、左 R-加群とは R からアーベル群の圏 Ab への共変加法的函手に他ならない。右 R-加群は反変加法的函手である。このことが示唆するのは、任意の前加法圏 C に対し、C から Ab への加法的函手は C 上の一般化された左加群と考えるべきであるということである。このような函手の全体は、環上の加群の圏 R-Mod の一般化となる函手圏 C-Mod を成す。

可換環上の加群は別な方向に一般化することができる。まず、環付き空間 (X, OX) をとり、OX-加群の層を考える。これらの全体は代数幾何学のスキーム論的取り扱いで重要な圏 OX-Mod を成す。 X がただ一点からなるならば、これは可換環 OX(X) 上の通常の意味での加群の圏である。

半環上の加群を考えることもできる。環上の加群はアーベル群だが、半環上の加群は可換単位的半群であればよい。通常の加群に関する議論の多くが、この一般化された意味での加群に対しても有効である。特に、任意の半環 S に対して S 上の n-次行列全体は半環を成し、S の元の順序 n-組の全体はその行列半環上の（ここで言う意味でのみだが）加群となる。これにより、理論計算機科学の分野から半環の概念を併合した、ベクトル空間の概念の更なる一般化が得られたことになる。
関連項目

群環

多元環

注記^ 任意の r ∈ R と x ∈ M に対して rx = xr とおくと作用の左右を入れ替えることができる。非可換の場合はたとえば (rs)x = x(rs) でなければならないが、いっぽう公理に従えば (rs)x = r(sx) = (sx)r = (xs)r = x(sr) となってうまくいかない。

出典^ Jacobson (1964), p. 4, Def. 1; Irreducible Module - PlanetMath.（英語）

参考文献

F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992, ISBN 0-387-97845-3, ISBN 3-540-97845-3

Nathan Jacobson. Structure of rings. Colloquium publications, Vol. 37, 2nd Ed., AMS Bookstore, 1964, ISBN 9780821810378

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