球面三角法
面積（球面の半径 = r {\displaystyle =r} ，球過量 (Spherical Excess) = E {\displaystyle =E} ， 2 s = a + b + c {\displaystyle 2s=a+b+c} ）球面三角形ABCの面積 = E r 2 {\displaystyle =Er^{2}} E = A + B + C − π = 4 tan − 1 tan s 2 tan s − a 2 tan s − b 2 tan s − c 2 = 2 sin − 1 sin s sin ( s − a ) sin ( s − b ) sin ( s − c ) 2 cos a 2 cos b 2 cos c 2 = 2 cos − 1 1 + cos a + cos b + cos c 4 cos a 2 cos b 2 cos c 2 {\displaystyle {\begin{aligned}E&=A+B+C-\pi \\&=4\tan ^{-1}{\sqrt {\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}}}\\&=2\sin ^{-1}{\frac {\sqrt {\sin s\sin(s-a)\sin(s-b)\sin(s-c)}}{2\cos {\dfrac {a}{2}}\cos {\dfrac {b}{2}}\cos {\dfrac {c}{2}}}}\\&=2\cos ^{-1}{\frac {1+\cos a+\cos b+\cos c}{4\cos {\dfrac {a}{2}}\cos {\dfrac {b}{2}}\cos {\dfrac {c}{2}}}}\end{aligned}}} 第1式をジラール（フランス語版、英語版）の式、第2式をリュイリエの式、第3式をカニョリ（イタリア語版、英語版）の式、第4式をオイラーの式という。
誘導定理 2 s = a + b + c {\displaystyle 2s=a+b+c} 、 2 S = A + B + C {\displaystyle 2S=A+B+C} とおく。 sin A 2 = sin ( s − b ) sin ( s − c ) sin b sin c cos A 2 = sin s sin ( s − a ) sin b sin c tan A 2 = sin ( s − b ) sin ( s − c ) sin s sin ( s − a ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}}\\\cos {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}}\\\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}}\end{aligned}}} sin a 2 = − cos S cos ( S − A ) sin B sin C cos a 2 = cos ( S − B ) sin ( S − C ) sin B sin C tan a 2 = − cos S cos ( S − A ) cos ( S − B ) cos ( S − C ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {a}{2}}&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\sin B\sin C}}}\\\cos {\frac {a}{2}}&={\sqrt {\frac {\cos(S-B)\sin(S-C)}{\sin B\sin C}}}\\\tan {\frac {a}{2}}&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\cos(S-B)\cos(S-C)}}}\end{aligned}}}
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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