となる。伝達関数 G ( s ) {\displaystyle \mathbf {G} (s)} はシステムの出力と入力の比であるから、次のようになる。

G ( s ) = Y ( s ) / U ( s ) {\displaystyle \mathbf {G} (s)=\mathbf {Y} (s)/\mathbf {U} (s)}

従って、上で求めた Y ( s ) {\displaystyle \mathbf {Y} (s)} で置き換えれば U ( s ) {\displaystyle \mathbf {U} (s)} が約分され、次の式が得られる。

G ( s ) = C ( s I − A ) − 1 B + D = C a d j ( s I − A ) d e t ( s I − A ) B + D {\displaystyle \mathbf {G} (s)=C(s\mathbf {I} -A)^{-1}B+D=C{\frac {\mathrm {adj} (s\mathbf {I} -A)}{\mathrm {det} (s\mathbf {I} -A)}}B+D}

式の中には、 d e t ( s I − A ) {\displaystyle \mathrm {det} (s\mathbf {I} -A)} が s I − A {\displaystyle sI-A} の行列式であり、 a d j ( s I − A ) {\displaystyle \mathrm {adj} (s\mathbf {I} -A)} が s I − A {\displaystyle sI-A} の余因子行列である。

G ( s ) {\displaystyle \mathbf {G} (s)} は明らかに q {\displaystyle q} × {\displaystyle \times } p {\displaystyle p} の次元を持ち、全体で q p {\displaystyle qp} 個の要素から成る。従って、個々の入力に対して q {\displaystyle q} 個の伝達関数があり、それぞれが個々の出力に対応している。そのため、複数入力/複数出力システムでは状態空間表現の方が好まれる。

なお、 d e t ( s I − A ) {\displaystyle \mathrm {det} (s\mathbf {I} -A)} は特性多項式と呼ばれる。その多項式の根（固有値）から、システムの伝達関数の極が得られる。それらの極を使って、そのシステムの安定性を解析できる。 G ( s ) {\displaystyle {\textbf {G}}(s)} の分子にあるゼロも同様に、システムが最小位相かどうかの判定に使うことができる。

( s I − A ) − 1 {\displaystyle (s\mathbf {I} -A)^{-1}} を計算するため、下記のアルゴリズムがある。
Souriau-Frame-Faddeev アルゴリズム

( s I − A ) − 1 = a d j ( s I − A ) d e t ( s I − A ) = ∑ k = 0 n − 1 Q k s k s n + a n − 1 s n − 1 + ⋯ + a 1 s + a 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(s\mathbf {I} -A)^{-1}&={\frac {\mathrm {adj} (s\mathbf {I} -A)}{\mathrm {det} (s\mathbf {I} -A)}}\\&={\frac {\sum _{k=0}^{n-1}\mathbf {Q} _{k}s^{k}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_{0}}}\end{aligned}}}

その中には、

Q n − 1 = I {\displaystyle \mathbf {Q} _{n-1}=\mathbf {I} }

a k = 1 k t r Q k − 1 = − 1 n − k t r ( A Q k ) = − 1 n − k t r ( Q k A ) {\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&={\frac {1}{k}}\mathrm {tr} \mathbf {Q} _{k-1}\\&=-{\frac {1}{n-k}}\mathrm {tr} (\mathbf {AQ} _{k})=-{\frac {1}{n-k}}\mathrm {tr} (\mathbf {Q} _{k}\mathbf {A} )\end{aligned}}}