熱伝導 - 暇つぶしWikipedia

熱伝導

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エネルギー密度の増加率は単位体積あたりの熱容量 [注釈 1]CV [J/m3K]を使って、 ∂ ρ E ∂ t = C V ∂ T ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial \rho _{E}}{\partial t}}=C_{V}{\frac {\partial T}{\partial t}}}

で表現される。以上から、λ を一定かつ等方的とすれば、温度場 T が従う式として C V ∂ T ∂ t = − div ⁡ J = − div ⁡ ( − λ grad ⁡ T ) = λ ∇ 2 T = λ Δ T {\displaystyle C_{V}{\frac {\partial T}{\partial t}}=-\operatorname {div} {\boldsymbol {J}}=-\operatorname {div} (-\lambda \operatorname {grad} T)=\lambda \nabla ^{2}T=\lambda \Delta T}

を得る。これは熱伝導方程式（Heat equation）と言われ、拡散方程式の形をしている。λ/CV を熱拡散率（温度伝導率）と言う。

以上の式を1次元に簡略化すると以下のようになる。

フーリエの法則 J = − λ ∂ T ∂ x {\displaystyle J=-\lambda {\frac {\partial T}{\partial x}}}

エネルギー保存則 ∂ ρ E ∂ t = − ∂ J ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial \rho _{E}}{\partial t}}=-{\frac {\partial J}{\partial x}}}

エネルギー密度の変化と温度変化の関係 ∂ ρ E ∂ t = C V ∂ T ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial \rho _{E}}{\partial t}}=C_{V}{\frac {\partial T}{\partial t}}}

熱伝導方程式 C V ∂ T ∂ t = − ∂ ∂ x ( − λ ∂ T ∂ x ) = λ ∂ 2 T ∂ x 2 {\displaystyle C_{V}{\frac {\partial T}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-\lambda {\frac {\partial T}{\partial x}}\right)=\lambda {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}}

ただし、

ρE ：熱エネルギー密度 [J/m3]

J ：熱流束密度 [W/m2]

λ ：熱伝導率 [W/(m・K)]

CV ：単位体積熱容量 [J/(m3・K)]

である。
熱伝導率詳細は「熱伝導率」を参照

一般に、金属の熱伝導は主に伝導電子が担うので、熱伝導率 λ は極低温を除いた温度域では温度 T に比例して大きくなる。一方、絶縁体の熱伝導は主にフォノンが担い、熱伝導率は極低温において温度 T の3乗に比例して大きくなる。ガラス（非晶質）などの熱伝導率は、極低温では温度 T の2乗に比例する。

気体での熱伝導率は温度の上昇により大きくなるが、液体では逆に温度の上昇により熱伝導率は減少する。

ヘリウムが超流動状態になると熱伝導性が非常に高くなる。
発熱がある場合

物体に内部発熱 Q [W/m3] がある場合は、上式のうちエネルギー保存則を表す式に項が追加され ∂ ρ E ∂ t = − div ⁡ J + Q {\displaystyle {\frac {\partial \rho _{E}}{\partial t}}=-\operatorname {div} {\boldsymbol {J}}+Q}

となる。したがって、熱伝導方程式は C V ∂ T ∂ t = λ Δ T + Q {\displaystyle C_{V}{\frac {\partial T}{\partial t}}=\lambda \Delta T+Q}

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