ドイツの数学者ゲオルク・カントールは、無限には異なる種類があることを見出し、これを超限数と名付けた。現代数学では濃度の概念で捉えられる。
超限数は ℵ {\displaystyle \aleph } （アレフ）の記号を用いて表記され、最も濃度が小さいものは ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} （アレフ・ヌル、またはアレフ・ゼロ）で表される。 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} の次に大きい濃度を持つ集合の濃度は ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} で表され、以後同様に ℵ 2 {\displaystyle \aleph _{2}} 等が定義される。一方、濃度 κ {\displaystyle \kappa } を持つ集合の冪集合の濃度は 2 κ {\displaystyle 2^{\kappa }} で表されるが、この濃度が常に κ {\displaystyle \kappa } より真に大きくなることがカントールにより証明されている。
自然数全体の集合 N の濃度は ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} である。整数全体の集合 Z や有理数全体の集合 Q の濃度も ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} であり、この無限を可算無限と呼ぶ。 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} の濃度を持つ集合としては実数全体の集合 R がある。
カントールは、 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} より濃度が大きく 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} より濃度が小さい無限は存在しない、つまり、 2 ℵ 0 = ℵ 1 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}} が成り立つという仮説（連続体仮説）を立てたが、これを証明することはできなかった。連続体仮説は、現在では通常の数学の体系からは「証明も反証もできない」ことが証明されている。
デデキント無限詳細は「デデキント無限」を参照
ある集合が自身と対等な（すなわち同じ濃度を持つ）真部分集合が存在するとき、その集合はデデキント無限であるという。デデキント無限でない集合はデデキント有限であるという。デデキント無限集合は常に無限集合であるが、その逆を証明するには弱い形の選択公理が必要である。無限集合が、デデキント無限集合であるということと、可算無限部分集合を持つことは同値である。 記号UnicodeJIS X 0213文字参照名称 出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2023年1月）
符号位置
∞U+221E1-1-71∞
∞
∞無限大
出典^ YEO・エイドリアン 『πとeの話 数の不思議』 p.63、青土社、2008年
参考文献.mw-parser-output .ambox{border:1px solid #a2a9b1;border-left:10px solid #36c;background-color:#fbfbfb;box-sizing:border-box}.mw-parser-output .ambox+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+link+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+style+.ambox,.mw-parser-output .ambox+.mw-empty-elt+link+link+.ambox{margin-top:-1px}html body.mediawiki .mw-parser-output .ambox.mbox-small-left{margin:4px 1em 4px 0;overflow:hidden;width:238px;border-collapse:collapse;font-size:88%;line-height:1.25em}.mw-parser-output .ambox-speedy{border-left:10px solid #b32424;background-color:#fee7e6}.mw-parser-output .ambox-delete{border-left:10px solid #b32424}.mw-parser-output .ambox-content{border-left:10px solid #f28500}.mw-parser-output .ambox-style{border-left:10px solid #fc3}.mw-parser-output .ambox-move{border-left:10px solid #9932cc}.mw-parser-output .ambox-protection{border-left:10px solid #a2a9b1}.mw-parser-output .ambox .mbox-text{border:none;padding:0.25em 0.5em;width:100%;font-size:90%}.mw-parser-output .ambox .mbox-image{border:none;padding:2px 0 2px 0.5em;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-imageright{border:none;padding:2px 0.5em 2px 0;text-align:center}.mw-parser-output .ambox .mbox-empty-cell{border:none;padding:0;width:1px}.mw-parser-output .ambox .mbox-image-div{width:52px}html.client-js body.skin-minerva .mw-parser-output .mbox-text-span{margin-left:23px!important}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .ambox{margin:0 10%}}
数学分野
ジョージ・G・ジョーゼフ 『非ヨーロッパ起源の数学』 垣田高夫、大町比佐栄
竹内外史 『集合とはなにか』講談社ブルーバックス 1976年 (集合についての入門書)
結城浩 『数学ガール/ゲーデルの不完全性定理』 2009年
新井敏康 『数学基礎論』岩波書店 2011年 (増補版) 東京大学出版会 2021年 （数学基礎論（数理論理学）に関するテキスト）
哲学分野
A.W・ムーア
野矢茂樹 『無限論の教室』 講談社現代新書 1998年（本書は、実無限(無限個の対象の存在を認める立場)を否定する、可能無限(いくらでも大きな有限が存在するだけとする立場)から書かれている。）
関連項目.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}ウィクショナリーに関連の辞書項目があります。