ゲーデルの不完全性定理は、ロビンソン算術 Q の再帰的拡大(またはRE拡大)である理論 T がω無矛盾(または無矛盾)であるとき、 T ⊬ Con ( T ) {\displaystyle T\nvdash \operatorname {Con} (T)}
である、すなわち理論自身では自身の無矛盾性を証明できないことを述べている。[2][5] 理論 T, U と T の任意の論理式 φ について T ⊢ ϕ → U ⊢ ϕ {\displaystyle T\vdash \phi \rightarrow U\vdash \phi } が成立するとき、T ⊆ U と記す。[6] そして無矛盾な理論 T について、 T ⊆ U {\displaystyle T\subseteq U} かつ T ≠ U {\displaystyle T\neq U} を満たす無矛盾な理論 U が存在しないとき、T は極大無矛盾 (maximally consistent) であるという。[7] 真の算術 TA は、その定義から明らかに極大無矛盾である。[8] T をある理論、 A を「 T に追加しようとしているある公理」だとする。ここで T + A を「 T に Aを追加した理論」であるとすると、 Con ( T ) ⇒ Con ( T + A ) {\displaystyle \operatorname {Con} (T)\Rightarrow \operatorname {Con} (T+A)} という命題を予め証明することで、後々Tの無矛盾性から直ちにT + Aの無矛盾性が証明される。したがってこの命題をAのTに対する相対的無矛盾性 (英: relative consistency) と呼び、このとき「AはTに伴って無矛盾である」という。
極大無矛盾
相対的無矛盾性
注釈^ A かつ ¬A から任意の論理式を導けるような T の論理式 A,¬A が存在するとき、両者は一致する。[4]
脚注^ 田中 2007, pp. 90?91.
^ a b 田中 2007, pp. 93.
^ 田中 2007, pp. 81.
^ a b 清水 義夫 (1984). 記号論理学. 東京大学出版会. p. 100. .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 978-4130120180
^ 田中 et al. 1997, p. 86.
^ 菊池 2014, pp. 32?33.
^ 菊池 2014, p. 47.
^ 菊池 2014, p. 109.
参考文献
田中 一之 編『ゲーデルと20世紀の論理学 3 不完全性定理と算術の体系』東京大学出版会、2007年。ISBN 978-4130640978。
田中 一之、角田 法也
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