可算無限濃度には以下の性質がある。
ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} は極小な無限濃度である。すなわち、 κ {\displaystyle \kappa } が ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} より小さい濃度ならば、 κ {\displaystyle \kappa } は有限濃度（すなわち自然数）である。
選択公理を仮定すると、 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} は最小な無限濃度である。すなわち、全ての無限濃度 κ {\displaystyle \kappa } に対して、 ℵ 0 ≤ κ {\displaystyle \aleph _{0}\leq \kappa } が成り立つ。
非可算集合詳細は「連続体濃度」および「非可算集合」を参照
連続体濃度とは実数全体からなる集合の濃度である。 ℵ {\displaystyle \aleph } あるいは c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} と表記される（ベート数を使って ℶ 1 {\displaystyle \beth _{1}} と書くこともできる）。カントールの対角線論法によって ℵ 0 < ℵ {\displaystyle \aleph _{0}<\aleph } が成り立つことが証明される。ユークリッド空間をはじめとする多くの有限次元の空間が連続体濃度を持つ。さらにはユークリッド空間の上の連続関数全体や可分なヒルベルト空間全体もこの濃度である。
連続体濃度の冪濃度は ℶ 2 {\displaystyle \beth _{2}} あるいは 2 c {\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}} などと表記される。ユークリッド空間上の関数全体などはこの濃度を持つ。 濃度の間に以下の演算が定義される（詳しくは基数#基数演算を参照）。| X |+| Y | := | X ⊔ Y |（ただし X ⊔ Y は X と Y の直和 (X × {0})∪(Y × {1}) のこと） を | X | と | Y | の和という。| X |·| Y | := | X × Y |（ただし X × Y は X と Y の直積。） を | X | と | Y | の積という。| X || Y | := | XY|（ただし XY は Y から X への写像全体。） を | X | を底、| Y | を指数とする冪という。 このとき以下が成立。| X ∪ Y |+| X ∩ Y | = | X |+| Y || P(X ) | = 2| X |
集合演算と濃度
出典[脚注の使い方]^ a b 松坂 1968, pp. 65?67
^ Cantor; Cantor (1874-01-01) (ドイツ語). Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen.
^ Cantor, Georg (1891). ⇒“Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigketislehre”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1: 72-78. ISSN 0012-0456. ⇒http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN37721857X_0001.
^ a b 松坂 1968, pp. 70?72
^ 松坂 1968, pp. 72?74
参考文献
松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968年。ISBN 4-00-005424-4。
関連項目
基数
連続体仮説
連続体濃度
外部リンク
『集合の濃度と可算無限・非可算無限』 - 高校数学の美しい物語