となる。
数列が収束せず、また正の無限大にも負の無限大にも発散しない場合、その数列は振動するという。振動も発散の一種である。
様々な極限詳細は「上極限と下極限」を参照
実数の列 ( x n ) n {\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n}} がある数 R {\displaystyle R} について R < x n {\displaystyle R<x_{n}} を満たしているとき(数列 ( x n ) n {\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n}} が下に有界なとき)、 ( x n ) n {\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n}} の下極限と呼ばれる数 lim _ n → ∞ x n {\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}}
を定めることができる。同様にして、上に有界な数列に対しその上極限 lim ¯ n → ∞ x n {\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}}
が定義される。
( lim ¯ {\displaystyle \varlimsup } を lim sup {\displaystyle \limsup } 、 lim _ {\displaystyle \varliminf } を lim inf {\displaystyle \liminf } と記しても同じ意味である)
数列 ( x n ) n {\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n}} が極限を持つのは lim _ n → ∞ x n = lim ¯ n → ∞ x n {\displaystyle \textstyle \varliminf \limits _{n\to \infty }x_{n}=\varlimsup \limits _{n\to \infty }x_{n}} となる場合であり、このとき lim n → ∞ x n = lim _ n → ∞ x n = lim ¯ n → ∞ x n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\varliminf _{n\to \infty }x_{n}=\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}}
となる。さらに、有界な数列のなすベクトル空間 l ∞ N {\displaystyle l_{\infty }\mathbf {N} } に対して抽象的な関数解析の構成を適用し、任意の有界な数列 ( x n ) n {\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n}} に対してバナッハ極限と呼ばれる数 L I M x n {\displaystyle {\mathrm {LIM} }\;x_{n}} を、古典的な極限の拡張となるように定めることができる。 ユークリッド空間のように、距離函数 d の定まった空間における点の列についての収束の概念を、実数の列の収束の概念を拡張して定めることができる。すなわち、点列 (xn)n が点 y に収束するとは、正の実数列 (d(xn, y))n が 0 に収束することである。この概念をさらに一般化して、自然数によって数え上げられるとは限らない「列」とその収束性を一般の位相空間に対して定式化することができる。(#位相空間を参照のこと) 距離 d に関する極限であることを明示するために lim の代わりに d-lim などと書くこともある。 f(x) を実関数とし、c を実数とする。式 lim x → c f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L} または f ( x ) → L ( x → c ) {\displaystyle f(x)\rightarrow L\quad (x\rightarrow c)} とは、x の値を c に“十分に近づければ”f(x) の値を L に望む限りいくらでも近づけることができることを意味する。このとき「x を c に近づけたとき f(x) の極限は L である」という。これはイプシロン-デルタ論法により ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 ; ∀ x [ 0 < 。 x − c 。 < δ ⟹ 。 f ( x ) − L 。 < ε ] {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\exists \delta >0;\;\forall x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon {\bigg ]}} という形で厳密に定義される。このとき、この極限と関数 f(x) の x = c における値は無関係であり、f(c) ≠ L であることもあれば、f が c において定義されている必要もないのである。 このことを理解するために次の例を挙げる。 x が 2 に近づくときの f(x) = x/(x2 + 1) の値を考える。この場合、f(x) は x が 2 のときに定義されており、値は 0.4 である。 x が 2 に近づくにつれて f(x) が 0.4 に近づいていく。したがって、 lim x → 2 f ( x ) = 0.4 {\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=0.4} である。このように f ( c ) = lim x → c f ( x ) {\displaystyle f(c)=\lim _{x\to c}f(x)} であるとき、f(x) は x = c で連続であるという。しかし、このようなことが常に成り立つとは限らない。 例として、 g ( x ) = { x x 2 + 1 , if x ≠ 2 0 , if x = 2 {\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\dfrac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{if }}x\neq 2\\0,&{\mbox{if }}x=2\end{cases}}} を考える。x が 2 に近づくときの g(x) の極限は 0.4 であるが、 lim x → 2 g ( x ) ≠ g ( 2 ) {\displaystyle \lim _{x\to 2}g(x)\neq g(2)} である。このとき g(x) は x = 2 で連続でないという。 また、x → c のとき、f(x) の値が限りなく大きくなることを、「x が c に限りなく近づくとき関数 f(x) は正の無限大に発散する」といい、 lim x → c f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty } または、 f ( x ) → ∞ ( x → c ) {\displaystyle f(x)\to \infty \quad (x\to c)} と表す。このことは次のように厳密に定義される。 ∀ K > 0 , ∃ δ > 0 ; ∀ x [ 0 < 。 x − c 。 < δ ⟹ f ( x ) > K ] {\displaystyle \forall K>0,\exists \delta >0;\;\forall x\;{\bigg [}0<|x-c|<\delta \Longrightarrow f(x)>K{\bigg ]}} 逆に、x → c のとき、f(x) の値が限りなく小さくなることを、「x が c に限りなく近づくとき関数 f(x) は負の無限大に発散する」といい、 lim x → c f ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=-\infty } または、 f ( x ) → − ∞ ( x → c ) {\displaystyle f(x)\to -\infty \quad (x\to c)} と表す。これは次のように厳密に定義される。 ∀ K < 0 , ∃ δ > 0 ; ∀ x [ 0 < 。
点列
関数詳細は「関数の極限」を参照
変数の収束に伴う関数の挙動
f ( 1.9 ) = 0.4121 {\displaystyle f(1.9)=0.4121}
f ( 1.99 ) = 0.4012 {\displaystyle f(1.99)=0.4012}
f ( 1.999 ) = 0.4001 {\displaystyle f(1.999)=0.4001}