楕円曲線 - 暇つぶしWikipedia

楕円曲線

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素数性証明楕円曲線（英語版）

楕円曲線の別の表現

ヘッセ曲線（英語版）(Hessian curve)

エドワーズ曲線（英語版）

曲線のひねり（英語版）

ひねられたヘッセ曲線（英語版）

ひねられたエドワーズ曲線（英語版）

二重向き付けドッチェ・イカート・コーヘル曲線（英語版）

三重向き付けドッチェ・イカート・コーヘル曲線（英語版）

ヤコビ曲線（英語版）

モンゴメリ曲線

 脚注 ^ Silverman 1986, Chapter 3
^ このことはリーマン面として見ることもできるし、単位元に対応する O をもつ種数 1 の曲線ともみることができ、1次元のアーベル多様体と見ることもできる。
^ Silverman 1986, Proposition 6.1
^ Silverman 1986, Theorem 6.2, Corollary 6.4
^ Silverman 1986, Proposition 9.1
^ Silverman 1986, Theorem 9.3
^ Silverman 1986, Theorem 4.1
^ Silverman 1986, pp. 199?205
^ See also J. W. S. Cassels, Mordell's Finite Basis Theorem Revisited, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 100, 3?41 and the comment of A. Weil on the genesis of his work: A. Weil, Collected Papers, vol. 1, 520?521.
^ Silverman 1986, Theorem 9.3, Proposition 9.6
^ Dujella, Andrej. “ ⇒History of elliptic curves rank records”. 2014年5月13日閲覧。
^ Silverman 1986, Theorem 7.5
^ Silverman 1995, Chapter 2
^ Silverman 1986, Remark 7.8 in Ch. VIII
^ Merel, L. (1996). “Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres” (French). Inventiones Mathematicae 124 (1?3): 437?449. doi:10.1007/s002220050059. .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}Zbl 0936.11037.
^ 定義は形式的で、定数項を持たないこのべき級数の指数は通常の指数である。
^ Koblitz 1993
^ D. R. Heath-Brown, The average analytic rank of elliptic curves, Duke Mathematical Journal 122?3, 591?623 (2004).
^ 計算は、例えば D. Zagier, ≪ Modular points, modular curves, modular surfaces and modular forms ≫, Lecture Notes in Mathematics 1111, Springer, 1985, 225?248 を参照
 ^ A synthetic presentation (in French) of the main ideas can be found in ⇒this Bourbaki article of Jean-Pierre Serre. For more details see Hellegouarch 2001
^ D. Zagier, ≪ Modular points, modular curves, modular surfaces and modular forms ≫, Lecture Notes in Mathematics 1111, Springer, 1985, 225?248
^ See the survey of K. Ribet ≪From the Taniyama?Shimura conjecture to Fermat's Last Theorem≫, Annales de la Faculte des sciences de Toulouse 11 (1990), 116?139.
^ Baker 1990, Chapter IV およびSilverman 1986, Chapter IX, Silverman 1992, Chapter V
^ Silverman 1986, Theorem IX.5.8., due to Baker 1990, Chapter IV, p. 45.
^ H. M. Stark, ≪ Effective estimates of solutions of some diophantine equations ≫, Acta Arith. 24 (1973), 251--259
^ T. Nagell, L'analyse indeterminee de degre superieur, Memorial des sciences mathematiques 39, Paris, Gauthier-Villars, 1929, pp. 56?59.
^ Siksek, Samir (1995), ⇒Descents on Curves of Genus I, Ph.D. thesis, University of Exeter, pp. 16?17, ⇒http://www.warwick.ac.uk/~masgaj/theses/siksek_thesis.pdf .
^ Silverman 1986, Chapter 9, Section 5, pp. 262--263
^ たとえば David 1994, Theorem 2.1, pp. 10
^ 詳しい議論は、たとえば Stroeker & Tzanakis 1994を参照
 ^ Koblitz 1994, p. 158
^ ヴェイユ予想は、1974年にドリーニュにより解決された。また、ステパノフは代数幾何学を用いない比較的初等的な方法により、有限体上の代数曲線の有理点の個数についてヴェイユの定理ほど強くはないが類似の定理を証明し、楕円曲線の場合にはハッセの評価と同じく。 N − q − 1 。 ≤ 2 q 1 / 2 {\displaystyle \left|N-q-1\right|\leq 2q^{1/2}} が導かれることを示した。Lidl, Niederreiter, 1974, 第5-6章およびSchmidt, 1976, 2004, 第1-2章.
^ Koblitz 1994, p. 160
^ Harris, M.; Shepherd-Barron, N.; Taylor, R. (2010). “A family of Calabi?Yau varieties and potential automorphy”. Annals of Mathematics 171 (2): 779-813. doi:10.4007/annals.2010.171.779.

参考文献

Serge Langは、下に挙げた参考文献の導入部で、"It is possible to write endlessly on elliptic curves. (This is not a threat.)" と言っている。したがって以下の参考文献のリストは、膨大な公開されている楕円曲線の理論的、アルゴリズム的、暗号理論的な側面のせいぜいガイドでしかない。

Alan Baker (1990). Transcendental Number Theory (paperback ed.). Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-39791-X

I. Blake; G. Seroussi, N. Smart (2000). Elliptic Curves in Cryptography. LMS Lecture Notes. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65374-6

Richard Crandall; Carl Pomerance (2001). “Chapter 7: Elliptic Curve Arithmetic”. Prime Numbers: A Computational Perspective (1st ed.). Springer-Verlag. pp. 285?352. ISBN 0-387-94777-9

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