状態および観測値が実数の列ベクトル、関数 f t {\displaystyle f_{t}} と h t {\displaystyle h_{t}} が線形（行列の乗法）、システムノイズ v t {\displaystyle v_{t}} と観測ノイズ w t {\displaystyle w_{t}} が多変量正規分布に従う場合は、以下のようになる。 x t = F t x t − 1 + G t v t y t = H t x t + w t {\displaystyle {\begin{aligned}x_{t}&=F_{t}x_{t-1}+G_{t}v_{t}\\y_{t}&=H_{t}x_{t}+w_{t}\end{aligned}}}

こちらは、状態 x t {\displaystyle x_{t}} の確率分布（多変量正規分布）をカルマンフィルターにて厳密解を求められる。ARMA や ARIMA もこの線形モデルで扱うことが出来る。
手法

時系列データを分析するツールには以下のようなものがある:

自己相関関数とスペクトル密度関数

周波数領域の系列の分析としてのフーリエ変換

ノイズを除去するデジタルフィルタの使用

主成分分析（または経験直交関数分析）

人工ニューラルネットワーク

時間-周波数解析手法:

連続ウェーブレット変換

短時間フーリエ変換

Chirplet変換

非整数次フーリエ変換


カオス解析

相関次元

リカレンスプロット

再帰定量化分析

リアプノフ指数


状態空間モデル

カルマンフィルター、拡張カルマンフィルタ、アンサンブルカルマンフィルタ

粒子フィルタ


産業への応用

任意の時刻と数値の連想配列は時系列とみなすことができる。その場合の時刻は必ずしも一定の間隔である必要はない。例えば、株式や商品先物の相場の履歴情報は、一種の時系列データである。

経営アナリストらは、ここで列挙したようなツールを駆使し、経営に役立てている。例えば、エネルギートレーダーは平年の天候と短期の天気予報に基づいて電力消費量を予測する。
出典^ 広辞苑第五版【時系列】
^ 北川源四郎『時系列解析入門』岩波書店、2005年、209頁。.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 4000054554。