と定義される。この定義は、γ′(0) = v を満たすようなものとして γ が選ばれている限り、γ の選び方によらない。
法線微分

法線微分（normal derivative）とは、空間内のある曲面に対する法線方向（すなわち、直交する方向）に関する、方向微分である。あるいはより一般的に、法線微分とは、ある超曲面に直交する法線ベクトル場に沿った方向微分である。例えばノイマン境界条件を参照されたい。法線方向を n と表すとき、関数 f の方向微分はしばしば ∂f/∂n と表される、その他、 ∂ f ∂ n = ∇ f ( x ) ⋅ n = ∇ n f ( x ) = ∂ f ∂ x ⋅ n = D f ( x ) [ n ] {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {n}}}}=\nabla f({\boldsymbol {x}})\cdot {\boldsymbol {n}}=\nabla _{\boldsymbol {n}}f({\boldsymbol {x}})={\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {x}}}}\cdot {\boldsymbol {n}}=Df({\boldsymbol {x}})[{\boldsymbol {n}}]}

とも表される。
固体の連続体力学において

連続体力学におけるいくつかの重要な結果においては、ベクトルに関するベクトルの微分や、ベクトルやテンソルに関するテンソルの微分の概念が必要となる[3]。方向微分は、そのような微分を見つける上での体系的な方法を提供するものである。

さまざまな状況に対する方向微分の定義を、以下に述べる。そこでの各関数は、微分が取れるように十分滑らかであるもののと仮定される。
スカラー値ベクトル関数の微分

f ( v ) {\displaystyle f({\boldsymbol {v}})} を、ベクトル v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} に関する実数値関数とする。このとき、すべてのベクトル u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} に対して、方向 u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} への f ( v ) {\displaystyle f({\boldsymbol {v}})} の v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} に関する（あるいは、 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} での）微分は、次のように定義される： ∂ f ∂ v ⋅ u = D f ( v ) [ u ] = [ d d α   f ( v + α   u ) ] α = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}=Df({\boldsymbol {v}})[{\boldsymbol {u}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {v}}+\alpha ~{\boldsymbol {u}})\right]_{\alpha =0}.}

性質：
f ( v ) = f 1 ( v ) + f 2 ( v ) {\displaystyle f({\boldsymbol {v}})=f_{1}({\boldsymbol {v}})+f_{2}({\boldsymbol {v}})} なら、 ∂ f ∂ v ⋅ u = ( ∂ f 1 ∂ v + ∂ f 2 ∂ v ) ⋅ u {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\right)\cdot {\boldsymbol {u}}} 。

f ( v ) = f 1 ( v )   f 2 ( v ) {\displaystyle f({\boldsymbol {v}})=f_{1}({\boldsymbol {v}})~f_{2}({\boldsymbol {v}})} なら、 ∂ f ∂ v ⋅ u = ( ∂ f 1 ∂ v ⋅ u )   f 2 ( v ) + f 1 ( v )   ( ∂ f 2 ∂ v ⋅ u ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {v}})+f_{1}({\boldsymbol {v}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)} 。

f ( v ) = f 1 ( f 2 ( v ) ) {\displaystyle f({\boldsymbol {v}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {v}}))} なら、 ∂ f ∂ v ⋅ u = ∂ f 1 ∂ f 2   ∂ f 2 ∂ v ⋅ u {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}} 。