上の式の各項を下の式の各項で割ると、以下の式となる。 v 1 + u 1 = u 2 + v 2 ⇒ v 1 − v 2 = u 2 − u 1 {\displaystyle v_{1}+u_{1}=u_{2}+v_{2}\quad \Rightarrow \quad v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}} .

つまり、1つの粒子のもう1つの粒子に対する相対速度は、衝突により逆転する。

m 1 , m 2 , u 1 , u 2 {\displaystyle m_{1},m_{2},u_{1},u_{2}} を定数として、下記の v 1 , v 2 {\displaystyle v_{1},v_{2}} の連立方程式を解くことで上記 v 1 {\displaystyle v_{1}} 又は v 2 {\displaystyle v_{2}} の式を得ることができる。どちらかが決定すれば、もう一方も対称的に決定される。 { v 1 − v 2 = u 2 − u 1 m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 u 1 + m 2 u 2 . {\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcc}v_{1}&-&v_{2}&=&u_{2}-u_{1}\\m_{1}v_{1}&+&m_{2}v_{2}&=&m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}.\end{array}}\right.}
質量中心系

質量中心に関しては、両方の速度が衝突により逆転する。重い粒子は質量中心に向かってゆっくりと移動し、同じゆっくりとした速度ではね返る。軽い粒子は質量中心に向かって速く移動し同じく速い速度ではね返る。

質量中心の速度は衝突により変化しない。これを確認するために衝突前の時間 t {\displaystyle t} と衝突後の時間 t ′ {\displaystyle t'} における質量中心を考える。 x ¯ ( t ) = m 1 x 1 ( t ) + m 2 x 2 ( t ) m 1 + m 2 {\displaystyle {\bar {x}}(t)={\frac {m_{1}x_{1}(t)+m_{2}x_{2}(t)}{m_{1}+m_{2}}}} x ¯ ( t ′ ) = m 1 x 1 ( t ′ ) + m 2 x 2 ( t ′ ) m 1 + m 2 . {\displaystyle {\bar {x}}(t')={\frac {m_{1}x_{1}(t')+m_{2}x_{2}(t')}{m_{1}+m_{2}}}.}

したがって、衝突前後の質量中心の速度は以下のようになる。 v x ¯ = m 1 u 1 + m 2 u 2 m 1 + m 2 {\displaystyle v_{\bar {x}}={\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}} v x ¯ ′ = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2 . {\displaystyle v_{\bar {x}}'={\frac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}

v x ¯ {\displaystyle v_{\bar {x}}} と v x ¯ ′ {\displaystyle v_{\bar {x}}'} の式における分子は衝突前後の総運動量である。運動量が保存されるので v x ¯ = v x ¯ ′ {\displaystyle v_{\bar {x}}=v_{\bar {x}}'} となる。
1次元相対論的力学

特殊相対性理論によると、以下の式が成り立つ。 p = m v 1 − v 2 c 2 {\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

ここで p は質量を有するあらゆる粒子の運動量を示し、v は速度、c は光速を示す。

総運動量が0に等しくなる運動量中心系（英語版）において、以下の式が成り立つ。 p 1 = − p 2 {\displaystyle p_{1}=-p_{2}} p 1 2 = p 2 2 {\displaystyle p_{1}^{2}=p_{2}^{2}} m 1 2 c 4 + p 1 2 c 2 + m 2 2 c 4 + p 2 2 c 2 = E {\displaystyle {\sqrt {m_{1}^{2}c^{4}+p_{1}^{2}c^{2}}}+{\sqrt {m_{2}^{2}c^{4}+p_{2}^{2}c^{2}}}=E} p 1 = ± E 4 − 2 E 2 m 1 2 c 4 − 2 E 2 m 2 2 c 4 + m 1 4 c 8 − 2 m 1 2 m 2 2 c 8 + m 2 4 c 8 2 c E {\displaystyle p_{1}=\pm {\frac {\sqrt {E^{4}-2E^{2}m_{1}^{2}c^{4}-2E^{2}m_{2}^{2}c^{4}+m_{1}^{4}c^{8}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}c^{8}+m_{2}^{4}c^{8}}}{2cE}}} u 1 = − v 1 . {\displaystyle u_{1}=-v_{1}.}